Hola, agradecería mucho si alguien me puede ayudar con este ejercicio:

Sean los subespacios S=gen{(0,2,1,0) , (1,-1,0,0)} y W={(x,y,z,t) E R4 x-z=0 , 2x+y-z=0}. Determinar si es posible definir una transformación lineal T: R4->R4, tal que el Nucleo de (T)= S intersección complemento ortogonal de W, y imag (T)= S+ complemento ortogonal W...
SOLO SABER SI EXISTE LA TRANSFORMACIÓN.
Muchas graciassss[/code]

Hola jmcuervo, bienvenido al foro.

Es recomendable que utilices LaTeX para escribir la matemática correctamente.

Transcribo el ejercicio:

Enunciado escribió:Sean los subespacios \(\Bbb{S}=\langle(0,2,1,0) , (1,-1,0,0)\rangle\) y \(\Bbb{W}=\{(x,y,z,t)\in\Bbb{R}^4\mid x-z=0,\;2x+y-z=0\}\). Determinar si es posible definir una transformación lineal \(T\colon\Bbb{R}^4\to\Bbb{R}^4\) tal que \(\ker(T)=\Bbb{S}\cap\Bbb{W}^\perp\) e \(\operatorname{im}(T)=S+\Bbb{W}^\perp\).

En general la condición necesaria y suficiente para que exista una aplicación lineal \(f\colon\Bbb{U}\to\Bbb{V}\) con \(\ker(f)=S_1\subseteq\Bbb{U}\) dado, e \(\operatorname{im}(f)=S_2\subseteq\Bbb{U}\) dada es que: \[\dim(S_1)+\dim(S_2)=\dim(\Bbb{U}).\] El motivo es que una aplicación lineal queda determinada fijando las imágenes de los vectores de una base.

Bajo esas condiciones puede tomarse una base de todo el espacio completando la base de \(S_1\). Después los vectores de \(S_1\) se llevan al cero. Y los vectores que hemos añadido para completar la base de \(S_1\) a una base de \(\Bbb{U}\) se llevan a una base de \(S_2\).

Saludos.

Hola!! muchas gracias por responder, te cuento lo que hice para ver si es correcta mi interpretación:

Teniendo ya una base de S, calculé la base de W, y luego encontré su complemento. Ambas bases me quedan de dimensión 2, pero si calculo el determinante de la matriz formada por S+W*, me dá cero, por lo tanto hay vectores LD...
Solo bastaría con indicar que como la DIM de la tl es R4, y la dimensión de las sumas de S Y W no forman R4, no existe la TL?

Perdón por no usar Latex, pero todavía no lo pude probar.
Saludos

Hola

(30-01-2020 18:32)jmcuervo escribió:  Teniendo ya una base de S, calculé la base de W, y luego encontré su complemento. Ambas bases me quedan de dimensión 2, pero si calculo el determinante de la matriz formada por S+W*, me dá cero, por lo tanto hay vectores LD...
Sólo bastaría con indicar que como la DIM de la tl es R4, y la dimensión de las sumas de S Y W no forman R4, ¿no existe la TL?

No. Recordá el teorema de las dimensiones. Te falta comprobar la dimensión del núcleo, o sea la dimensión de \(\Bbb{S}\cap\Bbb{W}^\perp\) para que la suma de imagen y núcleo te de la dimensión total. Observá que: \[\dim(\Bbb{S}\cap\Bbb{W}^\perp)=\dim(\Bbb{S})+\Bbb{W}^\perp-\dim(\Bbb{S}+\Bbb{W}^\perp)=2+2-3=1.\] De hecho como te comenté en mi mensaje anterior y aplicado a este caso, la condición necesaria y suficiente para que exista la aplicación pedida es que suma de dimensiones de los candidatos a núcleo e imagen coincida con la dimensión del espacio de partida: \[\dim(\Bbb{R}^4)=\underbrace{\dim(\Bbb{S}\cap \Bbb{W}^\perp)}_{\ker(T)}+\underbrace{\dim(\Bbb{S}+\Bbb{W}^\perp)}_{\operatorname{im}(T)}.\] Pero por la fórmula de las dimensiones: \[\dim(\Bbb{S}\cap\Bbb{W}^\perp)+\dim(\Bbb{S}+\Bbb{W}^\perp)=\dim(\Bbb{S})+\dim(\Bbb{W}^\perp).\] Por tanto para que exista la aplicación pedida basta chequear que: \[\dim(\Bbb{S})+\dim(\Bbb{W}^\perp)=4.\]

(30-01-2020 18:32)jmcuervo escribió:  Perdón por no usar Latex, pero todavía no lo pude probar.

Acá tenés un instructivo, y a eso sumale que la matemática en línea se escribe con \ ( ... \ ) y en una nueva línea con \ [ ... \ ] (todo junto).

Saludos.

Excelente, muchas gracias!!

 

Como \[Dim(S)=2,Dim(W*)=2\]

entonces cumple!

JAJA todavia no le agarro la mano