Buenas! Tengo una duda con este ejerccio que me parece que no me está dando bien.

Calcular la masa del sólido limitado por:
\[x^{2} + z^{2} \leq 4 , \textrm{y} \geq {x^{2}} , y\leq 2x , z\geq 0\] si su densidad es proporcional a la distancia al plano xy.

La densidad me dice que es : \[\delta (x,y,z)= k \left |z \right |\]

Mi problema es que no se si pongo bien los límites de integración ya que no sé si el gráfico lo estoy haciendo bien. Lo pasé a cilíndricas

\[\int_{0}^{2\pi } d\Phi \int_{0}^{2} \rho d\rho \int_{\rho ^{2} cos^{2}\Phi}^{2\rho cos\Phi } k (\rho sen\Phi) dy \]

Desde ya, gracias!!!

La densidad queda \[\delta (x,y,z)= k z\] ya que \[z\geq 0\]

Entonces en los limites de las integrales si no me equivoco te dan:

\[\int_{0}^{\pi/2 } d\Theta \int_{0}^{2}dr\int_{r^{2} cos^{2}\Theta }^{2rcos\Theta }kr^{2}sen\Theta dy\]

fijate si con esto te da...

Primero que nada, el determinante del jacobiano (|J(ro,phi)|) de las cilíndricas, es simplemente RO. Si usaste a Z como Ro.sen(phi), en esa integral te esta faltando el |J(ro,phi)|. Por otro lado, dado que la densidad es proporcional a la distancia del plano xy, y z>=0, entonces la densidad es simplemente k.z.
Cuando planteas los límites (incluso no hace falta dibujarlo), vas a ver que el volumen según (x, y, z) es [0,2]x[x^2, 2x]x[0, raiz(4-x^2)], pero como estamos trabajando con la masa, nos queda:

\[k\int_{0}^{2}\int_{x^2}^{2x}\int_{0}^{\sqrt(4x-x^2)} z dz dy dx\]

Que al integral Z te queda al cuadrado, entonces al evaluarlo en los límites se te anula la raíz.

(28-02-2015 22:38)Wasol escribió:  Primero que nada, el determinante del jacobiano (|J(ro,phi)|) de las cilíndricas, es simplemente RO. Si usaste a Z como Ro.sen(phi), en esa integral te esta faltando el |J(ro,phi)|. Por otro lado, dado que la densidad es proporcional a la distancia del plano xy, y z>=0, entonces la densidad es simplemente k.z.
Cuando planteas los límites (incluso no hace falta dibujarlo), vas a ver que el volumen según (x, y, z) es [0,2]x[x^2, 2x]x[0, raiz(4-x^2)], pero como estamos trabajando con la masa, nos queda:

\[k\int_{0}^{2}\int_{x^2}^{2x}\int_{0}^{\sqrt(4x-x^2)} z dz dy dx\]

Que al integral Z te queda al cuadrado, entonces al evaluarlo en los límites se te anula la raíz.

Buenas, puso el jacobiano dentro de la integral donde esta el dr, creo que lo que tiene mal son los limites de integracion en \[\theta \], que a mi entender, irian de 0 a \[\pi /2\]. Los otros limites, como el radio y el eje y estan correctos... al menos asi me dio a mi.

Saga we need you...

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Estaba haciendo por el metodo de Wasol, y es lo mismo, solo que me volvi loco hasta que encontre que hay un error de tipeo en el limite de z, el cual finalmente era \[\sqrt{(4-x^2)}\]

pero con los dos da el mismo resultado que es \[\frac{28}{15}k\]

La integral de masa por una integral doble son

\[M=\iint_R \left ( \int_{x^2}^{2x} kz dy \right )dzdx\]

de donde

\[M=\iint_R kz (2x-x^2)dzdx\]

tomando polares sobre R entonces

\[M=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}kr\sin\theta(2r\cos\theta-r^2\cos^2\theta) rdrd\theta=\frac{28}{15}k\]

wolfram

Editado, gracias por las observaciones chicos

Perdon pero los limites del angulo en polares no deberian de ser de 0 a \[\pi /2\]?, por que de \[\pi /2\] a \[\pi\] no encierran el solido las funciones\[x^2\] y \[2x\]

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Y Saga revisa lo que pusiste en el Wolfram que creo que tenes mal el signo + que pusiste entre los cosenos y tenes un r de mas.

Cita:Estaba haciendo por el metodo de Wasol, y es lo mismo, solo que me volvi loco hasta que encontre que hay un error de tipeo en el limite de z, el cual finalmente era \sqrt{(4-x^2)}

pero con los dos da el mismo resultado que es \frac{28}{15}k

Es el resultado final ese.

Cita:La integral de masa por una integral doble son

M=\iint_R \left ( \int_{x^2}^{2x} kz dy \right )dzdx

de donde

M=\iint_R kz (2x-x^2)dzdx

tomando polares sobre R entonces

M=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2}kr\sin\theta(2r\cos\theta-r^2\cos^2\theta) rdrd\theta=\frac{64}{9}k

Te sigo el ejercicio:

\[k\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2}\rho^2.sen(\phi).(2\rho.cos(\phi)-\rho^2.cos^2(\phi))d\rho d\phi\]

\[k\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2}2\rho^3.sen(\phi).cos(\phi)-\rho^4.cos^2(\phi)sen(\phi)d\rho d\phi\]

\[k\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2}\rho^3sen(2\phi)-\rho^4.cos^2(\phi)sen(\phi)d\rho d\phi\]

\[k\int_{0}^{\pi}\frac{\rho^4}{4}sen(2\phi)-\frac{\rho^5}{5}.cos^2(\phi)sen(\phi) d\phi\]

Evaluando en 2 y 0, me queda:

\[k\int_{0}^{\pi}4.sen(2\phi)-\frac{32}{5}.cos^2(\phi)sen(\phi) d\phi\]

Sigo integrando y resulta

\[k(-2.cos(2\phi)+\frac{32}{15}.cos^3(\phi))\]

Evaluando en pi y 0

\[k[-2.cos(2\pi)+\frac{32}{15}.cos^3(\pi)+2.cos(0)-\frac{32}{15}.cos^3(0)]=-k.\frac{64}{15}\]

Pregunto, ¿por qué lo pasan a coordenadas polares? Yo las uso cuando no puedo hallarla por coordenadas cartesianas nadas más

esta mal el limite del angulo, es pi/2, con eso te da...

¿Cuánto te da con pi/2?

Ya lo puse arriba... el resultado es k28/15

u_u

Planteamos la masa:

\[M=\int_{0}^{\pi /2}d\theta \int_{0}^{2}dr\int_{r^2cos^2\theta }^{2rcos\theta } k r^2sen\theta dy\]

luego...

\[M=\int_{0}^{\pi /2}d\theta \int_{0}^{2}(2rcos\theta -r^2cos^2\theta) k r^2sen\theta dr\]

Agrupo convenientemente...

\[M=\int_{0}^{\pi /2}d\theta \int_{0}^{2}(2r^3sen\theta cos\theta -r^4sen\theta cos^2\theta) k dr\]

Integro...

\[M=\int_{0}^{\pi /2} [(\frac{r^4}{4}sen2\theta)|_{0}^{2} -(\frac{r^5}{5}sen\theta cos^2\theta)|_{0}^{2} ]k d\theta\]

Reemplazo...

\[M=\int_{0}^{\pi /2} [(4sen2\theta) -(\frac{32}{5}sen\theta cos^2\theta) ]k d\theta\]

Integro por ultima vez...

\[M=(\frac{-4cos2\theta}{2})_{0}^{\pi /2} -(\frac{32}{5}\frac{-cos\theta)}{3})_{0}^{\pi /2} ]k\]

Ahora reemplazo y resuelvo...

\[M=(4 -(\frac{32}{5}\frac{1}{3}))k\]

\[M=\frac{28}{15}k\]

ejercicio de mierda c: ya esta igual. Es 28/15

Uf que mal lo mio , me olvide de analizar la otra restriccion bueno gracias por estar atentos chicos , ahora edito mi mensaje con la respuesta