Hola que tal estoy confundido en como resolver esta integral doble luego de haber aplicado el teorema del rotor

Al Calcular la circulación de f a través de la curva C con el teorema del Rotor nos queda la siguiente integral doble

\[\int \int -y-1+x-2 dx dy\]

Y que la proyección sobre el plano xy de la curva C es:
G(t) = (2 + sen(t), cos(t) -1)
que en forma cartesiana seria:
(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1

como se resuelve esto con coordenadas polares? me confunde porque cuando hacemos el cambio a coordenadas polares siempre tomamos como centro de la circunferencia el origen

Aca es lo mismo solo toma como centro el (2,-1) , el procedimiento es analogo que si estuviese con centro en (0,0)

(27-09-2015 18:30)Saga escribió:  Aca es lo mismo solo toma como centro el (2,-1) , el procedimiento es analogo que si estuviese con centro en (0,0)

podrias plantear, no resolver, esta integral con coordenadas cilindricas?

(27-09-2015 19:14)Charly_18 escribió:  podrias plantear, no resolver, esta integral con coordenadas cilindricas?

en polares quedras decir jeje , la integral se puede escribir como

\[\omega=\iint -(y+1)+(x-2)dxdy\]

la curva en coordenadas polares

\[\\x-2=r\cos\theta\\ y+1=r\sin\theta\]

haciendo el cambio en la integral

\[\omega=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (-r\sin\theta+r\cos\theta)r drd\theta=0\]

consulta, antes de aplicar el rotor, el campo vectorial que tenes cual es?

si polares.. R2

digamos que "mudaste" el centro de las coordenadas entonces
x = r cos(&) + 2
y = r sen(&) - 1

es por eso que
0 <= & <= 2pi
0 <= r <= 1

yo lo resolvería como lo hiciste vos pero en el ejercicio del parcial resuelto que compre en fotocopiadora (PUEDE ESTAR MAL, estar hechos muy resumidos)

se basa en G(t) = (2 + sen(t), cos(t) -1)

entonces
x - 2 = sen(&)
y + 1 = cos(&)

al reemplazar en la integral doble queda que

∫ ∫ -cos(&) + sen(&) r dr d&

mmmmm..

campo vectorial = (xz - 2z, yz+z, 0)

hay algo que no me cierra , en la integral inicial que pones ya realizaste el producto escalar entre el rot(f) y la normal ??

Podes subir el enunciado del parcial?

resuelvo:
∫ ∫ rotor de F . n dg

primero que todo la curva C: G(t) = (2 + sen(t), cos(t) -1, cos(t) + sen(t)) con t e [0,2pi]
esta contenida en el plano:
x + y - z - 1 = 0

te lo pedían en sentido de las agujas del reloj, entonces el normal es
\[\left ( 1,1,-1 \right ) / \sqrt[]{3}\]

rotor de (xz - 2z, yz+z, 0) = (-y - 1, x - 2, 0)

∫ ∫ (-y - 1, x - 2, 0) (1,1,-1) / |-1| dg

∫ ∫ -y - 1 + x - 2 dx dy

le falta la r en el ej del parcial , ahi no esta expresando nada en coordenadas polares, simplemente esta parametrizando la curva , y el teorema exige que lo que quede definido sea el area encerrada por la curva

bueno

Entonces está mal resuelto?

se resuelve como me lo explicaste vos?


es decir, esto ESTA MAL

se basa en G(t) = (2 + sen(t), cos(t) -1)

entonces
x - 2 = sen(&)
y + 1 = cos(&)

al reemplazar en la integral doble queda que

∫ ∫ (-cos(&) + sen(&) ) r dr d&


y lo que esta BIEN es

x - 2 = r.cos(&)
y + 1 = r.sen(&)

al reemplazar en la integral doble queda que

∫ ∫ (-r.sen(&) + r.cos(&) ) r dr d&