Hola, me podrian ayudar con la resolucion de este ejercicio?


06) Resuelva los siguientes ejercicios usando el cambio de coordenadas indicado:

c) \[\iint_{D}^{.} (x-y)^{4} dx dy , D = \left \{ (x,y)\epsilon \mathbb{R}^{2}/ \left | x \right |+\left | y \right | \leq 4\right \}\] con una transformacion lineal apropiada.

Gracias!

si graficas el recinto R te queda un rombo centrado en el origen, de las ecuaciones de las rectas que forman dicho recinto podes observar que

\[-4\leq x+y\leq 4\quad -4\leq x-y\leq 4\]

\[\\u=x+y\\ v=x-y\]

transforma R en R' un cuadrado centrado en el origen

luego por el teorema de cambio de variable

\[\iint_R f(x,y)dx=\iint_{R'} f(g(u,v))\left| \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right|^{-1} dudv\]

\[\left| \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right|^{-1}=\frac{1}{2}\]

luego

\[\iint_R f(x,y)dx=\int_{-4}^{4}\int_{-4}^{4}\frac{1}{2} v^4 dudv=\frac{8192}{5}\]

Como siempre implecable saga, muchisimas gracias!