tengo un eje que no se como se resuelve si alguien me da una mano le estaría agradecido!

sea\[f(x)=3x^{2}-1\]

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto P(2,8) y es tangente a la curva y=f(x). Graficar la curva y la recta




bueno este es el eje planteado desde ya muchas gracias!

La recta es y=6x-4 y corta a la grafica en x=1, fijate si podes pensar algo en funcion del resultado.

tendria q tener bien en claro la teoria!

Ahi lo saque.

1- Vos tenes que la funcion de la recta va a ser y = 6x * x + b donde 6x es la dervada de f(x). Pero ojo que esa funcion de la recta solo sirve para el punto en donde se cortan la recta y f(x).

2- Vos tenes que f(x) es y = 3x^2 -1

3- Igualas ambas funciones para ver donde se cortan, como la funcion de (1) solo sirve en el punto en donde se cortan, la podes usar en este caso.

4- 3x^2-1 = 6x^2+b eso te queda --> 0=3x^2+(b+1) (aca tenemos la primer ecuacion del sistema de ecuaciones)

5- Vos sabes que la funcion tiene que pasar por el punto (2,8) por ende de y=mx+b sale --> 8 = 2m + b donde m=6x, entonces --> 8=12x+b

6- Despejas b de (5) y te queda 8-12x=b para reemplazarlo en (4)

7- Ahora te queda una polinomica de grado 2 --> 0=3x^2+(8-12x)+1 de la cual te quedan dos raices --> x=1 x=3 <--

8- Esos son los dos puntos se junta la parabola con la recta tangente que pasa por el (2,8)

9- Seguila solo, ahora tenes que encontrar las ecuaciones que cortan a f(x) en x=1 y x=3 y que pasan por P(2,8). Si no sabes seguir decime y te sigo explicando.

muchas gracias ahora lo voy a intentar seguirrrr!!!!!!

mmm seria otra parabola? pero no se como encontrar la funcion todo lo que vos me explicaste lo entendi perfecto! tendria que buscar alguan funcion q pase por el punto x=1 y x=3 y P(2,8)

No es una parabola, a mi me da que hay dos posibles rectas que cumplen lo que te piden.

Ahora tenes que la recta tangente al punto f(1) y la recta tangente al punto f(3) que pase por el (2,8)

f'(x)=6x entonces f'(1) = 6 y f'(3)=18

entonces para la tangente en x=1 tenes:

y=m*x+b --> 8=6*2+b --> b= 8-12 = -4 ==> y=6x-4

entonces para la tangente en x=3 tenes:

y=m*x+b --> 8 = 18 * 2 + b --> b=8-36 ==> y=18x-28

Cualquier cosa pregunta.

uhhh q grande ahi me quedo clarooooooo muchas gracias!!!! ahora lo entendi!!!!! no es una parabola claro son 2 rectas que pueden crotar

Añado otra manera de resolucion a la excelente expliacion de alec

tenes que la recta pedida pasa por el punto (2,8) entonces la recta es

de la forma

\[y-8=m(x-2)\to y=mx-2m+8\]

los puntos que pertenecen a la parabola son de la forma

\[P(x,3x^2-1)\]

planteamos que esos puntos pasan por la recta pedida, nos queda

\[3x^2-1=mx-2m+8\to 3x^2-mx+2m-9=0\]

si resolvemos esa ecuacion cuadratica en funcion de m, y analizamos su

discriminante, tenemos

\[\triangle=m^2-24m+108\]

como la recta o rectas que nos piden son/es tangente a la parabola, la

la "toca" una vez, entonces necesariamente

\[\triangle=m^2-24m+108=0\]

de donde resolviendo otra vez esa ecuacion cudratica, las raices son

\[m=6\quad m=18\]

por ende las rectas que son tangentes a la parabola son

\[(y-8)=6(x-2)\quad (y-8)=18(x-2)\]

No conocia la forma de resolverlo de Saga, ahora esta forma sirve en toodos los casos ? Porque me acuerdo que habia unos ejercicios donde el punto no pertenecia a la parabola y habia que resolverlos de otra forma pero no recuerdo cual era

Gracias

En este caso el punto no pertenece a la parabola leaan.

Suerte!

(29-11-2012 10:13)leaan escribió:  No conocia la forma de resolverlo de Saga, ahora esta forma sirve en toodos los casos ? Porque me acuerdo que habia unos ejercicios donde el punto no pertenecia a la parabola y habia que resolverlos de otra forma pero no recuerdo cual era

Sirve en tanto y en cuanto sepas la interpretacion geometrica del discriminante, en este ejercicio en particular como me pedian que la recta sea TANGENTE a la funcion cuadratica, entonces por

ese motivo impongo que unicamente pasa eso cuando el valor del discrimante es 0, si te pedian los valores de m para que la recta sea SECANTE entonces el discriminate debe ser mayor a 0.

En ningun momento dije que el punto (2,8) pertenece a la parabola, lo que si estoy seguro es que pertenece a la recta nada mas, se puede usar el metodo que uso yo o el de alesc, esta

a gusto de cada uno