Hola
Me compre la guia de piñeiro y hay algo para completar que no entiendo bien:

1) Demostrar: \[A \subseteq A \cup B\]

\[\forall x: x \epsilon A \Rightarrow \] -siempre se pone para todo x? -
\[x \epsilon A \vee x\epsilon B \Rightarrow \] -no entiendo de donde salio la B, si en el primer termino no aparecía-
\[ x \epsilon A\cup B\]

En otros ejercicios pasa lo mismo, hay un conjunto que no se de donde sale.. porque si bien esta en el segundo termino, en el primero no está, y no sé que hacer. Si alguien puede ayudarme se lo agradezco mucho :3

Creo que es así:
a) Siempre va \[\forall\]x porque debe cumplirse en todos los casos. Además ya sea si lo viste en la \[\subseteq\] o en la \[\cup\] forma parte de la definición misma (en el caso de la inclusión es \[\forall\]x: x\[\epsilon\]A \[\rightarrow\] x\[\epsilon\]B y el de la unión es \[\forall\]x: x\[\epsilon\]A \[\vee\] x\[\epsilon\]B).
b) La B se puede hacer aparecer (y no por arte de magia) porque no altera la pertenencia de x al conjunto A, ya que es una unión, porque si algo pertenece a un conjunto, entonces pertenece a la unión de ese conjunto con otro, pero como eso es lo que tenés que demostrar, miremos la definición (\[\forall\]x: x\[\epsilon\]A \[\vee\] x\[\epsilon\]B): Si x\[\epsilon\]A, al ser el conector "\[\vee\]" como ya tenemos Verdadero por x\[\epsilon\]A, no importa el x\[\epsilon\]B, ya que el valor de verdad del "\[\vee\]" seguirá siendo Verdadero (V\[\vee\]F=V y V\[\vee\]V=V).

Yendo al ejercicio, lo que hay que demostrar es la inclusión (no la unión), o sea que tenés que ir de x\[\epsilon\]A y llegar a x\[\epsilon\] A\[\cup\]B y sería algo así:
- x\[\epsilon\]A
- x\[\epsilon\]A \[\vee\] x\[\epsilon\]B
- x\[\epsilon\] A\[\cup\]B
- \[\therefore\] A \[\subseteq\] A\[\cup\]B

Espero que haya aclarado tus dudas en vez de marearte más (xD).

Si A esta contenido en A U B, significa que todos los elementos (por eso el "para todo x") de A, van a estar tambien en A U B.
Le podes agregar el B en el 2do paso porque es una union.

Ej:
Buenos Aires (un elemento x) esta en Argentina (conjunto A). Esto es verdadero.
No puedo decir que Buenos Aires está en Sudamerica(conjunto que contiene a A)? Si, tambien se puede decir que esta en Sudamerica, ya que sería la UNION de todos los paises del continente (seria A U B U C U D ..., donde cada letra es un pais de Sudamerica).
Aca es lo mismo, si agarras los diagramas de Venn, te vas a dar cuenta que si un elemento esta en un conjunto A, y a ese conjunto le unis otro (B), el conjunto todo unido (AUB) va a seguir conteniendo al elemento, porque dentro suyo esta tanto A como B.

Espero que hayas entendido

Ah ahora mas o menos entendi, jajaja. Otra cosa, estuve haciendo unos ejercicios mas recien y me surgieron algunas dudas (re molesta)

a) En uno de demostraciones, al final me queda que (A n B) esta incluido en (A U B), esto estaria bien no? No lo tengo en las definiciones, pero razonando parece que es verdadero. Y según lo que me dijeron ustedes también (supongo)

b) Me dice cuales de las proposicioens son verdaderas, y lo dudo bastante. Por ejemplo:

\[\varnothing \nsubseteq \varnothing \] no sé si esto está mal por el hecho de que incluido va para un conjunto y no para elementos, y en este caso al no tener corchetes son elementos... o está bien porque todo conjunto incluye al vacio, pero aca a mi parecer ambos son elementos.
Si fuera un conjunto estaría expresado asi:

\[ \left \{ \right \}\] o al menos así \[ \left \{ \o \right \}\]? O estoy equivocada?
No se si se entiende a lo que voy, me parece que lo explico un poco mal (?) A lo que me refiero es que, si el vacío está escrito como en el ejercicio... es el conjunto vacío o el elemento vacío?

c) Y después hay otro ejercicio parecido que dice:

\[ \o \subseteq \left \{ \o , a \right \}\]

En este caso, no sé si ponerle verdadero por el hecho de que vacío pertenece a ese conjunto... o bien es Falso porque el incluido se usa solo para conjuntos y en este caso vacío es un elemento?

La verdad es que no me doy cuenta cuando vacío es un elemento o un conjunto, no sé si se escriben de la misma forma o qué, y me estoy volviendo loca porque la guia no tiene las respuestas D:

Bueno, empecemos:
a)Si, es verdadero. Pero ya que lo entendés te lo voy a explicar bien fácil (teniendo en mente lo que dijo el otro chico sobre los diagramas de Venn que para estos casos de conjuntos vienen bien que te los dibujes porque lo vuelven muy visible): La intersección es un "pedacito" correspondiente a los elementos en común entre A y B, en cambio la unión es todo lo de A más todo lo de B (incluyendo ese "pedacito"), aún si no tienen nada en común (siendo la intersección el \[\varnothing\]), está incluido en la unión. Además como inclusión se usa para conjuntos y ambos son conjuntos, es válido.


b) Me marié, luego lo leo bien.


c)Ahí dice: El \[\varnothing\] está incluído en el conjunto cuyos elementos son "\[\varnothing\]" y "a". Es decir que por lo que veo el primer \[\varnothing\] es el conjunto vacío y el segundo \[\varnothing\] es el elemento vacío (como bien dijiste, así que SI te das cuenta).

Estos son casos válidos para ese ejemplo:
- \[\varnothing \subseteq \left \{ \varnothing, a \right \}\]
- \[\varnothing \epsilon \left \{ \varnothing, a \right \}\]
- {\[\varnothing\]} \[\subseteq\left \{ \varnothing, a \right \}\]

(20-04-2013 16:19)nawkhel escribió:  Bueno, empecemos:
a)Si, es verdadero. Pero ya que lo entendés te lo voy a explicar bien fácil (teniendo en mente lo que dijo el otro chico sobre los diagramas de Venn que para estos casos de conjuntos vienen bien que te los dibujes porque lo vuelven muy visible): La intersección es un "pedacito" correspondiente a los elementos en común entre A y B, en cambio la unión es todo lo de A más todo lo de B (incluyendo ese "pedacito"), aún si no tienen nada en común (siendo la intersección el \[\varnothing\]), está incluido en la unión. Además como inclusión se usa para conjuntos y ambos son conjuntos, es válido.


b) Me marié, luego lo leo bien.


c)Ahí dice: El \[\varnothing\] está incluído en el conjunto cuyos elementos son "\[\varnothing\]" y "a". Es decir que por lo que veo el primer \[\varnothing\] es el conjunto vacío y el segundo \[\varnothing\] es el elemento vacío (como bien dijiste, así que SI te das cuenta).

Estos son casos válidos para ese ejemplo:
- \[\varnothing \subseteq \left \{ \varnothing, a \right \}\]
- \[\varnothing \epsilon \left \{ \varnothing, a \right \}\]
- {\[\varnothing\]} \[\subseteq\left \{ \varnothing, a \right \}\]

No se supone que si el primer \[\o \] es un conjunto, no está incluido en \[\left \{ \o , a \right \}\] porque esos son elementos y no conjuntos? O sería verdadero por el hecho de que todo conjunto tiene incuido al vacío como subconjunto? En ese caso, si fuera porque es un subconjunto... el vacío no debería estar escrito así: \[\left \{ \o \right \}\] ? A eso más o menos me refería con lo otro que dije del vacío que no se entendió nada jaja

(Gracias por lo demas :3)

Paso a dar mi opinión respecto del conjunto vacío.

(20-04-2013 16:00)Bian escribió:  b) Me dice cuales de las proposiciones son verdaderas, y lo dudo bastante. Por ejemplo:

\[\varnothing \nsubseteq \varnothing \] no sé si esto está mal por el hecho de que incluido va para un conjunto y no para elementos, y en este caso al no tener corchetes son elementos... o está bien porque todo conjunto incluye al vacio, pero aca a mi parecer ambos son elementos.
Si fuera un conjunto estaría expresado asi:

\[ \left \{ \right \}\] o al menos así \[ \left \{ \o \right \}\]? O estoy equivocada?
No se si se entiende a lo que voy, me parece que lo explico un poco mal (?) A lo que me refiero es que, si el vacío está escrito como en el ejercicio... es el conjunto vacío o el elemento vacío?

Ante todo, la forma de representa al conjunto vacío es \[\varnothing \] o bien con dos llaves {}.

La representación así {\[\varnothing \]} está relacionada a otra cosa que seguramente vas a ver más adelante, que es el conjunto de partes... Por ejemplo, vas a ver que el conjunto de partes del conjunto vacío \[\varnothing \] es P = {\[\varnothing \]}.

Respecto a la proposición a mi me parece \[\varnothing \nsubseteq \varnothing \] es correcto... Pensalo con cualquier otro conjunto, por ejemplo un conjunto A. A es igual a si mismo, podría concluirse que el conjunto vacío también es igual a si mismo. Se me ocurre que para el caso de la inclusión también debería corroborarse.

Cita:c) Y después hay otro ejercicio parecido que dice:

En este caso, no sé si ponerle verdadero por el hecho de que vacío pertenece a ese conjunto... o bien es Falso porque el incluido se usa solo para conjuntos y en este caso vacío es un elemento?

Por definición el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto... Con lo cual esa proposición es cierta para cualquier conjunto que quieras poner xD

Una última cosa... Por ahí alguien mencionó algo del "elemento vacío" a mi me parece que tal cosa no existe. No recuerdo haber escuchado/visto algo así

(20-04-2013 16:41)Bian escribió:  No se supone que si el primer \[\o \] es un conjunto, no está incluido en \[\left \{ \o , a \right \}\] porque esos son elementos y no conjuntos? O sería verdadero por el hecho de que todo conjunto tiene incuido al vacío como subconjunto? En ese caso, si fuera porque es un subconjunto... el vacío no debería estar escrito así: \[\left \{ \o \right \}\] ? A eso más o menos me refería con lo otro que dije del vacío que no se entendió nada jaja

(Gracias por lo demas :3)

Tengo mis dudas respecto a ese ejercicio (mañana veré de preguntarle a mi profesora), pero si estoy seguro que hay una propiedad del vacío que es: el único subconjunto del conjunto vacío es el mismo conjunto vacío. Como el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto, si ese conjunto es justo el conjunto vacío, entonces el conjunto vacío es subconjunto del conjunto vacío... xD
Se escribe así: \[\varnothing \subseteq \varnothing\]; que es justo lo "opuesto" a lo que plantea el ejercicio, así que me apresuraría a decir que es falso (pero mañana lo consulto).

Con lo del vacío, aplicando la definición de subconjuntos, "un conjunto A es subconjunto de otro B si todo elemento perteneciente a A pertenece también a B". En este caso, se verifica: no hay ningún elemento perteneciente al vacío, por lo que ninguno "contradice" esa definición de inclusión. El vacío es subconjunto de cualquier conjunto, si no me equivoco.

O por ahí estoy tirando fruta



Con el punto a, hacé lo mismo: aplicá definiciones. El conjunto AnB es el conjunto de todos los x que pertenecen a A y pertenecen a B. Por otro lado, el conjunto AuB es el conjunto de todos los x que pertenecen a A y/o pertenecen a B. Entonces, para cualquier elemento que pertenece a AnB, efectivamente se cumple que pertenece a A **y** a B, por lo que pertence a AuB.
Esto, pero con simbolitos