Hola gente, les cuento, fui a rendir la primera instancia de recuperación el 14/07 (integradora en mi caso) y no tuve la chance de acercarme a la revisión con la profesora (Edith Amed).
Rehice el parcial varias veces y descubrí que tuve varios errores y ahora estoy tratando de redimirlos, pero como ando acotado monetariamente (para no decir que estoy hasta las bolas) no dispongo de un profesor particular para resolver mis dudas. Por eso recurro a ustedes a ver si me pueden dar una mano viendo si me estoy equivocando en algo nuevamente o si (al fin) ya me encaminé.
Paso a dejarles los 2 primeros ejercicios mientras voy editando y agregando el resto. Les agradezco a todos de antemano y les pido disculpas por algún pifie con el LaTeX con el cual no ando muy ágil.

Cita:1) Sea \[f: D\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\] Se pide: a) Analizar si f es derivable en \[x_{0} = 0\]
b) Hallar, si existen, asíntotas correspondientes al gráfico de f

\[f(x) = \left\{\begin{matrix}\frac{sen^2(|x|+4x)}{x} & x<0\\ 0 & x=0\\ \frac{ln(1+x^2))}{x} & x>0\end{matrix}\right.\]

a) Lo que hice aca fue reformular f sacándo el módulo (ya que es para x<0 entonces vale -x)
y esa sección me quedó \[\frac{sen^2(3x)}{x}\]

Luego pasé a probar la continuidad: \[f(0) = \lim_{x\rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)\]

f(0) = 0
Límite de 0 por exceso aplicando L'Hopital me quedó \[ \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{2x}{x^2+1}\] el cual es 0

Límite de 0 por defecto me quedó \[ \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{3sen(3x)}{3x}sen(3x)\] el cual da 0 también \[\therefore \] la función es contínua

Paso a probar la derivabilidad en el punto:
Por exceso: \[\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\frac{ln(1+x^2)}{x}-0}{x-0} = 0\]

Por defecto: \[\lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{\frac{sen^2(3x)}{x}-0}{x-0} = \lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{sen^2(3x)}{x} *\frac{1}{x} = \lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{3sen(3x)}{3x}*\frac{3sen(3x)}{3x} = 9\]

Como los límites son diferentes \[\therefore \] f no es derivable

b)
AH: \[\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ln(1+x^2)}{x}\] por L'H \[= \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{2x}{x^2+1} = 0\] \[\Rightarrow \exists AH\] en Y=0 pero como la función está definida como 0 cuando x=0 \[\Rightarrow \] no existe AH

AV:
\[\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{ln(1+x^2)}{x}=0\] por L'H
\[\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{sen^2(3x)}{x}=0 \therefore \] no existe AV

AO:
Tuve un problema acá y me dio que \[m=0 \wedge b=0\] lo cual supongo que habrá sido un error

Cita:2)\[g(x)=\int_{1}^{senx}cosx*(2+f(t))dt\] y sea \[P(x)= 2 + 5(x-1)\] el polinomio de Taylor de orden uno asociado a f.
Obtener el polinomio de Taylor de orden dos asociado a g en potencias de "\[x-\frac{\pi}{2}\]"

El problema que tuve con este ejercicio es que el polinomio de Taylor me terminó quedando \[P(x) = 0\] y no sé si eso sea válido, por las dudas les dejo un poco del procedimiento en el cual supongo le habré pifiado a algo durísimo.

El polinomio sería \[P(x)= g(\frac{\pi}{2}) + g'(\frac{\pi}{2})(x-\frac{\pi}{2})+g''(\frac{\pi}{2})\frac{(x-\frac{\pi}{2})}{2}\]

\[g(\frac{\pi}{2}) = \int_{1}^{sen\frac{\pi}{2}}cos(\frac{\pi}{2})(2+f(t))dt \Rightarrow \mathbf{g(\frac{\pi}{2})=0}\]

\[g(x)= cosx\int_{1}^{senx}(2+f(t))dt\] sacando cosx ya que no es variable de integración (no separo la integral por las sumas para agilizar los cálculos, lo hice de las dos maneras y me dió igual)

\[g'(x) = -senx\int_{1}^{senx}(2+f(t))dt + cosx(2+f(senx))cosx \Rightarrow \mathbf{g'(\frac{\pi}{2})=0}\]

\[g''(\frac{\pi}{2})\] también me quedó = 0 \[\mathbf{\Rightarrow P(x)=0}\]

Cita:3)
a) \[\int_{\frac{e}{5}}^{\infty }\frac{1}{xln(5x)}dx\]

b) \[\int \frac{lnx}{(6+x)^2}\]

c)\[\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{4+x^2}\]

d) \[\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{e^x+e^-^x}\]

a) me quedó \[ln(ln(5x))+C\] y al aplicar Barrow me dio DV

b) no lo pude resolver

c) me quedó \[\frac{1}{2}arctg(\frac{x}{2})+C\] y al aplicar Barrow me dio CV a \[\frac{\pi}{4}\]

d) me quedó \[arctg(e^x)+C\] y al aplicar Barrow me dio DV

Estan bien ambos por lo que vi. Espero no haber pasado por alto nada . El polinomio de Taylor puede darte 0 por cierto.

(25-07-2014 20:09)Elmats escribió:  Estan bien ambos por lo que vi. Espero no haber pasado por alto nada . El polinomio de Taylor puede darte 0 por cierto.

Si, sé que puede dar 0, pero Edith no suele tirar esas 'trampas' así como así, y el ejercicio se podría haber resuelto sin utilizar los datos que nos aporta sobre la función f (ya que nos queda multiplicada por 0 ella y su derivada en varias ocaciones y/o la integral nos queda \[\int_{1}^{1}\] lo cual hace que me quede una sospecha gigante de que hubo algún error cuando hizo el parcial.
Gracias igualmente, sobre la AO me podés dar una mano?

Si, tenes que ponerle la expresión de todos modos.

lo de AO te olvidaste de tomar el -infinito. Donde si hay una AH.
Del otro lado hay una AH también. En ambos lados es 0. No sé que flasheaste con lo de cuando x=0.

3)b) Sale por partes+sustitución

Me dio como si hubiese una AH en y=0 pero como la función vale 0 cuando x=0 eso no la estaría anulando?
Como la AH es a ambos lados entonces no hay AO, inclusive con la anulación anterior, correcto?

No sé si se entiende lo que quiero decir.

F(x)=0 si y solo si x=0.
No entiendo de donde sacas eso.
Si hay AH, no hay AO.

Lo que no entiendo es conceptual: si una función jamás puede tocar una asíntota cómo es posible que esta la esté tocando en x=0?

Porque la función no es continua. Otro ejemplo.
f(x)=0 si x=0
f(x)= 1/x en otros casos.
Pasa lo mismo que arriba, es discontinua pero tiene asintota vertical en cero.

Yo también la tengo pendiente, podrían ayudarme a resolver este ejercicio de la misma cátedra:

Sea f:IR en IR/ f es continua en [a,b] Si f(a)<3a f(b)>3b entonces f©=3c tiene al menos una solucion en (a,b)

De eso saco que F(b)>3b>=F(x)>=3a>F(a), como b>c>a, 3b>3c>3a. Puedo asegurar que existen todos los valores intermedios. No puedo asegurar f©=3c pero si puedo asegurar que existe un f(c`)=3c. Puedo hacer una demostración más formal si requerís de esto.

Elmats te agradecería que te explayes más en el tema de ser posible, un saludo!

Como es continua en [a,b], y sabes que hay una subregión acotada por [3a,3b]. Entonces la función debe tomar todos los valores intermedios entre esos puntos.
dem:
Sea J={x perteneciente a [a,b]/ f(x)<3c}
Sup(J)=d.
Entonces existe un L1 / f(x)<3c para todo x perteneciente a [a, a+L1) c>= a+L1
A su vez existe un L2 / f(x)>3c para todo x perteneciente a (b-L2, b] c<=b-L2

De lo dado podemos decir que:
lim x-> c por izquierda f(x) <= 3c.
lim x->c por derecha f(x) >=3c.
Como el limite existe por ser continua el limite debe ser 3c y esta a su vez es igual a la función en el punto lo cual nos asegura que f(d)=3c.

pd: Es una extensión de bolzano esto.