Hola, tengo problemas para resolver estos dos ejercicios y no encontré ayuda en la carpeta ni en el libro, quizás sean un tontería pero como tengo poca practica se me dificulta bastante

1) Dados los subespacios de R^3

S= (x,y,z) e R^3 / (x,y,z)= (-λ; -λ; 2λ) con λ e R^3
y T= gen (0,k-1,1),(0,-2,-K)
Hallar todos los valores de K para los cuales S+T no es suma directa

2)Sean los subespacios de R^3 : S= gen (0,0,1); (0,1,1) y T= gen( 1, 1, 1); (1,1,2); (0,0,-1)
Halle S+T, ¿es suma directa?
Halle S ∩ T

encaralo desde el punto de vista geometrico , observa que al estar en R3 todo se reduce a calcular intersecciones de rectas y planos rectas y rectas y planos y planos.

a) en el primero en particular tenes tres vectores S es una recta , y T un plano, siempre hablando desde el punto de vista geometrico , si la suma es directa entonces la recta corta al plano en un solo punto , si no lo esta contenida en el ... como ya tenes los vectores generadores de los mismo basta hacer que el determiante asociado sea igual a 0 , con eso sacas los valores de k para que tu suma no sea directa

b) es idem solo determina una base de T y procedes de manera analoga al item a) si es directa se corta entonces la interseccion sera un punto cuya dimension es 0

si no es directa entonces puede ser que la recta esta contenida en el plano y la dimension de la interseccion sera 1

Chifla si no te sale ahora estoy en el laburo

Creo que me dio (hice el A)
Hice producto vectorial entre ambos vectores de T y me da la normal que solo tiene valor en X (k^2 + k +2 ) y lo iguale a cero para despejar K. ¿Esta bien?
Muchas Gracias!

Estem.... lo que tenes que hacer es el producto mixto entre los vectores que te dan ... o sea es plantear la matriz siguiente

\[A=\begin{pmatrix} -1& -1 &2 \\ 0& k-1 &1 \\ 0 &-2 &-k \end{pmatrix}\]

ahora calcula su determinante asociado , para que no sea suma directa entonces

|A|=0

lo podes seguir ??

el b lo hice asi
la base de S es igual al generado y la de T como son tres vectores coplanares deje dos para que sea LI, me quedo la base de T = (1,1,1); (1,1,2)
S+T = (x,y,z) / (1,1,2) ; (1,2,3) Aca sume los vectores, osea (1,1,1) + (1,1,2)

S∩T (x,y,z) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1) (1,1,2) Osea los 4 vectores de las bases, como la dimensión de S mas la dimensión de T es 5 me falta un vector hice
(x,y,z) = alfa 1 (0,0,1) + alfa 2 (0,1,1) + alfa 3 (1,1,1) + alfa 4 (1,1,2) e hice gaus consiguiendo un nuevo vector (2,0,-2)
Asi que S∩T son los 4 vectores mas ese nuevo

Si me confirman si esta bien el razonamiento o me dicen mi error se los agradecería un montón asi al menos tengo una idea para los siguientes ejercicios

MMMMM ...para empezar si lo queres encarar desde la parte algebraica , que S+T no significa que tengas que sumar los vectores ... antes de seguir entendiste la parte a)

ahora me fijo como hacerlo en otro lugar (no tengo nada de eso en la carpeta y me guié por algo del libro, lo entendí mal ), muchas gracias

Todo ok ... si te quedan dudas pregunta , onda no me molesta responderte si te pregunto algo es para saber si estas entendiendo , si no es asi con gusto trato de explicartelo por aca

La verdad te lo agradezco un monton esto, este tema apenas lo vimos y quiero entenderlo lo mas que pueda para aprovechar la ultima clase antes del parcial.

Volvi a hacer S+T

Hice: S+T gen (alfa 1(0,0,1) +alfa2 (0,1,1)+ alfa 3 (1,1,1)+ alfa(1,1,2) +alfa(0,0,-1)

Me queda
alfa3 +alfa 4 =0 de ahi que alfa3= -alfa4
alfa 2 + alfa3 +alfa4=0 Remplazo alfa 3 y me queda que alfa 2= 0
Alfa1+alfa2 + 2alfa4 - alfa5=0 Remplazo lo que puedo y me queda alfa1+alfa4-alfa5= 0

Por lo que S+T gen (x,y,z)/ alfa1+alfa4 -alfa5= 0 ^ alfa3= -alfa4 ^ alfa2= 0 osea no suma directa

Ahora mi duda es S∩T seria igual? o que tendría que hacer? porque el único ejercicio de la carpeta de este tema la profesora uso el espacio generado por la intersección para sacar la suma

De vuelta, muchas gracias! y perdon por tantas molestias

No revise las cuentas, pero el razonamiento esta bien para saber si es suma directa o no hay que "trabajar" con los vectores generadores y hacer las cuentas que vos hiciste

Para la interseccion tenes que trabajar con las ecuaciones de S y T

Todo eso de forma algebraica, te comente anteriormente que al estar en el espacio podes hacerlo de manera geometrica , S y T son de dimension dos , cada sub espacio representa un plano al tener dos planos , tenes dos posibilidades , que se intersecten y formen una recta , o que esten superpuestos , en ese caso si forman una recta la dimension de la interseccion sera 1, si van superpuestos 2, ya teniendo la dimension de la interseccion solo tenes que aplicar el teorema de las dimensiones y cocinado el pollo lo entendes.

La manera algebraica es la que vos propones

En subespacios , cuando estas en R3 es conveniente verlos de manera geometrica, igualmente esta a gusto de cada 1, ya que en R4 no queda otra que hacerlo como vos decis , aunque en el razonamiento es analogo.

Cualquier duda pregunta