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696 en 50 posts · 24-07-2012 18:33

Hola gente, como andan?

Bueno la verdad que necesito ayuda con este tema de la "interpretación geométrica" de los subespacios vectoriales que en el 99% de los ejercicios te la hacen hacer. Realmente no logro entender como realizarlas. ¿Alguien me puede explicar al estilo "Billiken" como encararlas, analizarlas y finalmente realizarlas? A modo de ejemplo (para que se ayuden mas ustedes con la explicacion) les dejo algunos sub espacios vectoriales de subconjuntos \[\mathbb{R}^{2}\] y \[\mathbb{R}^{3}\] para realizar su interpretación geométrica:

\[A = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}/ x=0 \ \}\]

\[B = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}/ 2x+3y=0 \ \}\]

\[C = \left \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}/ x = 2z \wedge y=x-3z \ \}\]

\[D = \left \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}/ 2x-3y+4z=0 \ \}\]

Bueno eso es todo. Muchas gracias

.

Saludos!

207 en 144 posts · 24-07-2012 18:39

Un subespacio vectorial es "algo" en N dimensiones...

Ese algo puede ser un punto, una recta, un plano, por ejemplo...

$[Imagen: %20x=0%20\right%20\}]$

El subespacio A esta en R2, y dice que x=0, es decir, que es solamente la recta x=0 en 2 dimensiones.

$[Imagen: %202x+3y=0%20\right%20\}]$

El subespacio B esta en R2, y dice que 2x+3y=0, es decir, que es solamente la recta 2x+3y=0 en 2 dimensiones.
(se puede despejar como y=-2/3 x para verlo mejor)

Proba con el C y el D, en el spoiler te dejo la respuesta:

Spoiler: Mostrar

696 en 50 posts · 24-07-2012 18:51

(24-07-2012 18:39)sentey escribió: Un subespacio vectorial es "algo" en N dimensiones...

Ese algo puede ser un punto, una recta, un plano, por ejemplo...

$[Imagen: %20x=0%20\%20\}]$

El subespacio A esta en R2, y dice que x=0, es decir, que es solamente la recta x=0 en 2 dimensiones.

$[Imagen: %202x+3y=0%20\%20\}]$

El subespacio B esta en R2, y dice que 2x+3y=0, es decir, que es solamente la recta 2x+3y=0 en 2 dimensiones.
(se puede despejar como y=-2/3 x para verlo mejor)

Proba con el C y el D, en el spoiler te dejo la respuesta:

Spoiler: Mostrar
C es una recta (interseccion de 2 planos), y D es un plano

Las respuestas ya las tengo. Pero ¿de que me sirven las respuestas si no entiendo el tema? Mi problema radica principalmente en lo siguiente:

¿Como me doy cuenta cuando estamos tratando con un plano y cuando estamos tratando con una recta? osea se cual es el formato de una recta (1 punto + direccion) y el formato de un plano (1 punto + normal), pero si te fijas B y D tienen el mismo formato, pero una es una recta y el otro es un plano. Por otro lado, nunca entendí como graficar un plano. ¿Me lo explicarias?

Saludos!

1.744 en 931 posts · 24-07-2012 19:52

(24-07-2012 18:51)Gonsha escribió: Mi problema radica principalmente en lo siguiente:

¿Como me doy cuenta cuando estamos tratando con un plano y cuando estamos tratando con una recta? osea se cual es el formato de una recta (1 punto + direccion) y el formato de un plano (1 punto + normal), pero si te fijas B y D tienen el mismo formato, pero una es una recta y el otro es un plano.

Te das cuenta por el espacio en el que te definen el ejercicio

\[R^2\] hace referencia al plano xy, y los ejes cartesianos x e y justamente, o sea todo lo que pertenezca a ese conjunto lo podes dibujar sobre ese plano por ejemplo una circunferencia, una parabola, una elipse, una recta etc,

\[R^3\] hace referencia al espacio, y a los ejes xyz, podes dibujar, esferas, paraboloides, elpsoides, planos, rectas etc.

Siempre fijate el espacio en el que estan definidos los problemas

Cita:Por otro lado, nunca entendí como graficar un plano. ¿Me lo explicarias?

sea \[x+y+z=1\]

dibujas los tres ejes y haces el plano al origen, haciendo x=y=0 despues y=z=0 y finalmente x=z=0 te van a quedar 3 puntos x=y=z=1
los unis y ahi tenes tu plano, esta solo en el primer octante, pero lo podes extender, no sé si se entendio

207 en 144 posts · 24-07-2012 19:59

Cita:¿Como me doy cuenta cuando estamos tratando con un plano y cuando estamos tratando con una recta? osea se cual es el formato de una recta (1 punto + direccion) y el formato de un plano (1 punto + normal), pero si te fijas B y D tienen el mismo formato, pero una es una recta y el otro es un plano. Por otro lado, nunca entendí como graficar un plano. ¿Me lo explicarias?

B y D tienen el mismo formato...

Pero la diferencia es que B es en R2 y D es en R3! Se entiende?

Para graficar un plano, haces lo siguiente:

Supongamos que tenes el plano

\[ Ax+By+Cz=D\]

\[\frac{A}{D}x+\frac{B}{D}y+\frac{C}{D}z=\frac{D}{D}\]

\[\frac{x}{\frac{D}{A}}+\frac{y}{\frac{D}{B}}+\frac{x}{\frac{D}{C}}z=1\]

Y ahora, esos denominadores, son las intersecciones con los ejes.

(D/A) con el eje x, (D/B) con el eje y, (D/C) con el eje z

Ejemplo: Supongamos el plano

\[x-3y+3z=3\]

Lo pasamos a su forma segmentaria, quedaría

\[\frac{x}{3}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{1}=1\]

Luego en el grafico, unis los puntos (te queda una especie de triangulo, que no es todo el plano, sino un pedazo...

[Imagen: 487977_4375654919165_1463495786_n.jpg]

[Imagen: 487977_4375654919165_1463495786_n.jpg]

Espero que haya quedado claro. Cualquier duda avisá!

696 en 50 posts · 24-07-2012 21:04

Spoiler: Mostrar

Claro, a decir verdad yo sabia graficar el plano de esa forma. Es la ecuación segmentaria del plano la que me permite graficar el plano. Ahora dejame decirte algo: Que pasa cuando tenes el ejemplo que yo te di? Es decir:

\[D=\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/2x-3y+4z=0 \ \}\]

Que se supone que tengo que hacer ahi? Lo siguiente?

\[\frac{x}{\frac{0}{2}}-\frac{y}{\frac{0}{3}}+\frac{z}{\frac{0}{4}}=\frac{0}{0}\] ??????

A) No creo, ya que hay una indeterminación ahi jaja. A aplicar limites se ha dicho!! jajaja. No enserio, como se supone que tengo que graficar un plano cuando x, y, z comparten su intersección con los ejes cartesianos el cual es (0,0,0)?

En la teoría, el profe gráfico las 2 rectas que limitan al plano (y que se inician en el origen de coordenadas) y el área comprendida entre las rectas era el plano en si. Pero lo que no entiendo es como llego a las 2 ecuaciones de las rectas.

Saga: Gracias por decirme lo de igualar x, y, z a 0 convenientemente para hallar sus intersecciones con los ejes cartesianos. No la sabia esa xD.

B) Entonces para despejarme por completo mi duda: Cuando estamos hablando en R2, siempre estamos hablando de una Recta y cuando estamos hablando en R3, podemos estar hablando tanto de una recta como de un plano?

Saludos!

207 en 144 posts · 24-07-2012 22:41

Cita:B) Entonces para despejarme por completo mi duda: Cuando estamos hablando en R2, siempre estamos hablando de una Recta y cuando estamos hablando en R3, podemos estar hablando tanto de una recta como de un plano?

No! En R2, podemos tener un punto, una recta, o un plano (ese plano seria precisamente todo R2), se entiende?
Y en R3 podemos tener un punto, una recta o un plano (o otras figuras, pero no se si son subespacios)

Cita:A) No enserio, como se supone que tengo que graficar un plano cuando x, y, z comparten su intersección con los ejes cartesianos el cual es (0,0,0)?

En la teoría, el profe gráfico las 2 rectas que limitan al plano (y que se inician en el origen de coordenadas) y el área comprendida entre las rectas era el plano en si. Pero lo que no entiendo es como llego a las 2 ecuaciones de las rectas.

Aca hay varias opiniones y formas de como graficarlo: http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-alg...-al-origen
Con vectores, puntos, etc...

696 en 50 posts · 24-07-2012 22:59

(24-07-2012 22:41)sentey escribió:
Cita:B) Entonces para despejarme por completo mi duda: Cuando estamos hablando en R2, siempre estamos hablando de una Recta y cuando estamos hablando en R3, podemos estar hablando tanto de una recta como de un plano?

No! En R2, podemos tener un punto, una recta, o un plano (ese plano seria precisamente todo R2), se entiende?
Y en R3 podemos tener un punto, una recta o un plano (o otras figuras, pero no se si son subespacios)

Cita:A) No enserio, como se supone que tengo que graficar un plano cuando x, y, z comparten su intersección con los ejes cartesianos el cual es (0,0,0)?

En la teoría, el profe gráfico las 2 rectas que limitan al plano (y que se inician en el origen de coordenadas) y el área comprendida entre las rectas era el plano en si. Pero lo que no entiendo es como llego a las 2 ecuaciones de las rectas.

Aca hay varias opiniones y formas de como graficarlo: http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-alg...-al-origen
Con vectores, puntos, etc...

Peculiar tu link, todos tienen el mismo problema que yo: graficar un plano que pasa por el origen jaja xD. No me sirvió mucho ese post Sentey, no hay ninguna respuesta certera al problema Confused

696 en 50 posts · 25-07-2012 04:21

Saben que gente: Era una estupidez el ejercicio. Estoy seguro que lo sabían hacer, pero tal vez a nadie se le ocurrio hacerlo asi, jeje.

Miren, lo hice de la siguiente forma:

Para los que no entienden los dibujos: A la izquierda hice las trazas en R2 para cada caso (x = 0, y = 0, z = 0). Luego proyecte (por asi decirlo) las rectas en R2 sobre un espacio en R3. Y eso me quedo. El área delimitada entre las 3 rectas (que en realidad terminan siendo 2 ya que 2 de las 3 rectas coinciden en su dirección) sera el plano que se genera. Era una pavada xD.

14 en 7 posts · 24-10-2012 20:00

Buenas! No se si Gonsha lo termino entendiendo pero yo tengo la misma duda que el sobre interpretar elemento de geometria en subespacios. Puede ser que tenga que ver con la dimensión de la base del subespacio?...por ejemplo un subespacio con:

base de dim=3 en R3 es todo R3
con dim=2 en R3 es un plano
y con dim=1 en R3 es una recta

esta bien?

y ya que estamos dejo un ejercicio de TL pero relacionado, es el 56 de la guia complementaria:

Halle la expresion analitica de una transformacion lineal T: R3 --> R3 tal que:
Nu(T) = gen \[\left \{ (-2;1;0)) \right \}\] , Imagen T: vectores posicion incluidos en el plano π: x+2y-3z = 0

La parte de TL la entiendo bien pero lo de sacar la imagen por el plano no. Gracias!

1.744 en 931 posts · (25-10-2012)

(24-10-2012 20:00)takuaras escribió: Buenas! No se si Gonsha lo termino entendiendo pero yo tengo la misma duda que el sobre interpretar elemento de geometria en subespacios. Puede ser que tenga que ver con la dimensión de la base del subespacio?...por ejemplo un subespacio con:

base de dim=3 en R3 es todo R3
con dim=2 en R3 es un plano
y con dim=1 en R3 es una recta

esta bien?

correcto

Cita:y ya que estamos dejo un ejercicio de TL pero relacionado, es el 56 de la guia complementaria:

Halle la expresion analitica de una transformacion lineal T: R3 --> R3 tal que:
Nu(T) = gen \[\left \{ (-2;1;0)) \right \}\] , Imagen T: vectores posicion incluidos en el plano π: x+2y-3z = 0

La parte de TL la entiendo bien pero lo de sacar la imagen por el plano no. Gracias!

tomo u como vector que genera el nucleo, entonces

\[T(u)=(0,0,0)\]

despues, te dicen que los vectores posicion de ese plano t,h son la imagen, pregunto ¿sabes hallar dichos vectores?

Para definir la TL basta tomar dos vectores v w del espacio de salida LI con el del nucleo, por comodidad en cuentas podes tomar los canonicos, si queres sino cualquier otro, finalmente

\[\\T(\vec u)=\vec 0\\T(\vec v)=\vec t\\ T(\vec w)=\vec h \]

14 en 7 posts · 24-10-2012 23:36

Spoiler: Mostrar

Joya lo primero, gracias por la respuesta...dsp si tengo algun ejercicio relacionado con eso y veo que no me sale vuelvo a preguntar.

Sobre el ejercicio de TL la parte de agarrar 2 vectores cualquiera del dominio sisi la sabia y sacar 2 vectores teniendo el plano asi la verdad que no. Se hace exclusivamente con geometria? Me fue bien en el primer parcial pero la verdad que ya ni me acuerdo, si me tiras una mano se agradece.

1.744 en 931 posts · (25-10-2012)

(24-10-2012 23:36)takuaras escribió: Joya lo primero, gracias por la respuesta...dsp si tengo algun ejercicio relacionado con eso y veo que no me sale vuelvo a preguntar.

dales, toma en cuenta que subespacios vectoriales se reduce siempre a un sistema de ecuaciones, teniendo bien en claro el teorema de Rouche-Frobbenius y, en los casos que se pueda asociar el subespacio a geometría (rectas y planos) no es dificil, son solo cuentas nada mas

Cita:Sobre el ejercicio de TL la parte de agarrar 2 vectores cualquiera del dominio sisi la sabia y sacar 2 vectores teniendo el plano asi la verdad que no. Se hace exclusivamente con geometria?

Podes hacerlo por geometría o álgebra, eso esta a gusto de cada uno

Cita:Me fue bien en el primer parcial pero la verdad que ya ni me acuerdo,

jejej a repasar entonces, TL y subespacios estan "enganchados" a temas del primer parcial, si encontras la relación que existe entre uno y otro tema, promocionas seguro

Cita:si me tiras una mano se agradece.

Cuando te digan" vectores posicion del plano o de la recta", implicitamente te estan pidiendo los que generan el plano o la recta, en este caso vos tenes tu plano

\[\pi: x+2y-3z=0\]

1) de forma álgebraica, observa que tenes 1 ecuacion y 3 incognitas, por Roche-Frobbenius obtenes que las variables libres van a ser 2, que estan relacionados con los vectores que generan el plano, si despejamos x, obtenemos (podes despejar cualquiera, YO para evitar fracciones)

\[x=-2y+3z\quad (1)\]

un generico que este incluido en el plano es de la forma \[v=(x,y,z)\] por (1)

\[v=(-2y+3z,y,z)=y(-2,0,1)+z(3,0,1)\]

entonces el plano esta generado por

\[gen_{\pi}=\left \{ (-2,1,0)(3,0,1) \right \}\]

2) por geometría, la normal del plano es el \[n=(1,2,-3)\], los "vectores posicion \[(r=(a,b,c))\]" estan incluidos en él, entonces se cumple que

\[n\perp r\to (1,2,-3)(a,b,c)=a+2b-3c=0\]

despejando a

\[a=-2b+3c\]

reemplazando en r

\[r=(-2b+3c,b,c)=b(-2,1,0)+c(3,0,1)\]

Podes verificar, haciendo el producto vectorial entre los vectores hallados, obtenes el plano ^^

Fijate si podes continuar, sino chifla que por aca andamos thumbup3

14 en 7 posts · 25-10-2012 09:47

Spoiler: Mostrar

(25-10-2012 03:03)Saga escribió:
(24-10-2012 23:36)takuaras escribió: Joya lo primero, gracias por la respuesta...dsp si tengo algun ejercicio relacionado con eso y veo que no me sale vuelvo a preguntar.

dales, toma en cuenta que subespacios vectoriales se reduce siempre a un sistema de ecuaciones, teniendo bien en claro el teorema de Rouche-Frobbenius y, en los casos que se pueda asociar el subespacio a geometría (rectas y planos) no es dificil, son solo cuentas nada mas

Cita:Sobre el ejercicio de TL la parte de agarrar 2 vectores cualquiera del dominio sisi la sabia y sacar 2 vectores teniendo el plano asi la verdad que no. Se hace exclusivamente con geometria?

Podes hacerlo por geometría o álgebra, eso esta a gusto de cada uno

Cita:Me fue bien en el primer parcial pero la verdad que ya ni me acuerdo,

jejej a repasar entonces, TL y subespacios estan "enganchados" a temas del primer parcial, si encontras la relación que existe entre uno y otro tema, promocionas seguro

Cita:si me tiras una mano se agradece.

Cuando te digan" vectores posicion del plano o de la recta", implicitamente te estan pidiendo los que generan el plano o la recta, en este caso vos tenes tu plano

\[\pi: x+2y-3z=0\]

1) de forma álgebraica, observa que tenes 1 ecuacion y 3 incognitas, por Roche-Frobbenius obtenes que las variables libres van a ser 2, que estan relacionados con los vectores que generan el plano, si despejamos x, obtenemos (podes despejar cualquiera, YO para evitar fracciones)

\[x=-2y+3z\quad (1)\]

un generico que este incluido en el plano es de la forma \[v=(x,y,z)\] por (1)

\[v=(-2y+3z,y,z)=y(-2,0,1)+z(3,0,1)\]

entonces el plano esta generado por

\[gen_{\pi}=\left \{ (-2,1,0)(3,0,1) \right \}\]

2) por geometría, la normal del plano es el \[n=(1,2,-3)\], los "vectores posicion \[(r=(a,b,c))\]" estan incluidos en él, entonces se cumple que

\[n\perp r\to (1,2,-3)(a,b,c)=a+2b-3c=0\]

despejando a

\[a=-2b+3c\]

reemplazando en r

\[r=(-2b+3c,b,c)=b(-2,1,0)+c(3,0,1)\]

Podes verificar, haciendo el producto vectorial entre los vectores hallados, obtenes el plano ^^

Fijate si podes continuar, sino chifla que por aca andamos

Claro, ahora lo entiendo bastante mas..la ecuacion del plano o de la recta es como si fuera la expresión analitica del subespacio, basta con sacar la base y ya puedo hacer todo.

La parte de geometria ahora que lo explicas lo sabia hacer...pero ya ni me acordaba que los A B C del plano eran los coeficientes del vector normal jajaja...buenisimo gracias por la ayuda che!

1.744 en 931 posts · 25-10-2012 10:26

(25-10-2012 09:47)takuaras escribió: Claro, ahora lo entiendo bastante mas..la ecuacion del plano o de la recta es como si fuera la expresión analitica del subespacio

Exacto, si observas, y recordas algo de fisica 1, son vectores posición porque tienen su aplicacion desde el origen al punto, si no fuese un subespacio no podes sacar dichos vectores de la manera que lo hice mas arriba

Cita:La parte de geometria ahora que lo explicas lo sabia hacer...pero ya ni me acordaba que los A B C del plano eran los coeficientes del vector normal jajaja...

Suelen pasar esas lagunas mentales, conviene repasar para que no ocurran, como te dije antes, va todo "enganchado" para el segundo parcial, y podes ahorrar muchas cuentas si relacionas bien los temas.

Cita:buenisimo gracias por la ayuda che!

gracias por agradecer Feer

, cualquier duda andamos por acá

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