Hola!
Quiero terminar este problema pero no puedo:

Ya tengo las bases de \[S_{1}\] y \[S_{2}^{\perp }\]
\[B_{S_{1}}={(4,-16,9,0),(0,0,0,1)}\]
\[B_{S_{2}^{\perp }}={(1,0,-2,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)}\]
(corrijanme si estan mal)

Pero al hacer gauss para sacar las ecuaciones de intersección en las dos bases con x y z w no me quedan bien, si alguien me puede ayudar lo agradecería mucho.

Hola!

Creo que el error esta en donde sacaste el complemento ortogonal de S2, la base de S1 esta bien, pero en vez del complemento ortogonal tenes la base de S2, que no es con lo que tenes que trabajar.
Para sacar S ortogonal (la T invertida al lado de S2) tenes que multiplicar cada vector de la base de S2 con un generico (x,y,z,w) e igualarlo a cero. Las ecuaciones que te quedan son las ecuaciones del espacio Ortogonal de S2, de ahí sacar la base de S2 ortogonal y trabajas con eso.

Ej:
(1,0,-2,0).(x,y,z,w)=0 ---------- x-2w=0 entonces x=2w
(0,1,0,0).(x,y,z,w)=0 ----------- y=0
(0,0,1,1).(x,y,z,w)=0 ----------- z+w=0 enotnces z=w

Base de S2 ortogonal = {(2,0,1,1)}

Fijate si con eso te da!
Espero que te sirva! Si no entendes algo me avisas y trato de explicarlo mejor!

Pero eso sería como volver atrás.
Te cuento lo que hice yo.
De \[S_{2}: 2x_{1} + x_{3} -x_{4}\] saqué \[(2,0,1,-1)\]
Luego lo multipliqué por \[(x,y,z,w)\] y lo igualé a 0 para sacar el complemento ortogonal que me dió \[2x+z-w=0\]
En base a eso, despeje \[z=-2x +w\] para que me quede \[(x,y,-2x+w,w)\] de lo que saque las letras para afuera y me quedó \[B_{S_{2}^{\perp }}={(1,0,-2,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)}\]

A menos que yo me esté equivocando y haya sacado la base de \[S_{2}\] con eso.
Voy a tratar con (2,0,1,-1) en vez de la base de 3 vectores!

P.D.: Fijate que hiciste un par de errores, por eso no te quedó igual al mio (sin hacerme el capo ni nada)

Por lo que yo se con S2 te estan dando esta acuación:

2x1+x3-x4=0 es un plano donde vas a tener que sacar los vectores base. Esta igualado a cero, no es una base, no podes pasarlo a vector directamente, es la ecuación que define al subespacio.
Entonces (vamos a llamar x1=x x2=y x3=z X4=w, para que sea más fácil)

2x+z-w=0
z=-2x+w

De y no tenemos datos así que va a ser un vector (0,1,0,0)

Entonces la base te quedaría {(1,0,-2,0) (0,0,1,1) (0,1,0,0)}
Vos tenes que sacar la base de los datos que te da la o las ecuaciones que te dan.

Fijate si te sirve.

Bueno, traté de hacer con el vector (2,0,1,-1).
Ahora que me doy cuenta, las ecuaciones de \[S_{1}\] las tengo que dejar como están para la intersección. O sea, no tengo que hacer ningún gauss ni nada para sacar las ecuaciones. Solo me falta la ecuación de \[S_{2}^{\perp }\] para despues hacer la intersección con las de \[S_{1}\]
Tengo que hacer a1.(2,0,1,-1)=(x,y,z,w)
Me queda:
\[2a_{1}=x\]
\[y=0\]
\[a_{1}=z\]
\[-a_{1}=w\]

Ahora que hago?

(26-11-2013 12:53)flopdb89 escribió:  Hola!

Creo que el error esta en donde sacaste el complemento ortogonal de S2, la base de S1 esta bien, pero en vez del complemento ortogonal tenes la base de S2, que no es con lo que tenes que trabajar.
Para sacar S ortogonal (la T invertida al lado de S2) tenes que multiplicar cada vector de la base de S2 con un generico (x,y,z,w) e igualarlo a cero. Las ecuaciones que te quedan son las ecuaciones del espacio Ortogonal de S2, de ahí sacar la base de S2 ortogonal y trabajas con eso.

Ej:
(1,0,-2,0).(x,y,z,w)=0 ---------- x-2w=0 entonces x=2w
(0,1,0,0).(x,y,z,w)=0 ----------- y=0
(0,0,1,1).(x,y,z,w)=0 ----------- z+w=0 enotnces z=w

Base de S2 ortogonal = {(2,0,1,1)}

Fijate si con eso te da!
Espero que te sirva! Si no entendes algo me avisas y trato de explicarlo mejor!

Aca, en este comentario esta como se saca S2 ortogonal.
Con los Vectores Base de S2 tenes que sacar S2 \[\perp \] y te van a dar sus ecucaciones ( como ami me dio: y=0, z+w=0 y x-2w=0 )
Con esas ecuaciones y las de S1 tenes que buscar la intersección remplazando.

De todas formas no existe la intersección, fijate que los vectores de S1 y S2 ortogonal son LI (cuando haces una matriz con los vectores y la triangulas te da que son LI) , así que no hay una espacio de intersección. Es Suma directa S1\[\bigoplus \]S2\[\perp \].

Eso es lo que a mi me da, revisarlo y fijate si llegas a la misma conclusión.

O sea que no se puede hacer intersección de subespacios si una base es L.I.?

Para empezar nos piden bases ORTONORMALES ninguno de los vectores que propones el modulo es 1

1) hay que normalizar los las bases de \[S1 \quad \mbox{y}\quad S2^{\perp}\]

se observa que S1 son 2 ecuaciones con 4 incognitas , entonces las variables libres seran 2.. por ende S es de la forma

\[S=\left (x_1,-4x_1,\frac{9}{4}x_1,x_4 \right )\]

una base ortonormal sera

\[\boxed{B'_s=\left \{ \left (\frac{4}{\sqrt{353}},\frac{-16}{\sqrt{353}},\frac{9}{\sqrt{353}}, 0 \right )(0,0,0,1) \right \}}\]

S2 perpendicular sera de la forma

\[S^{\perp}_2=(2w,0,-w,w)\]

una base

\[S^{\perp}_2=\left \{ (2,0,-1,1)\right \}\]

una base ortonormal

\[\boxed{ S'^{\perp}_2=\left \{ \left(\frac{2}{\sqrt{5}},0,\frac{-1}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right \}}\]

2) las bases son

\[B_s=\left \{\left(1,-4,\frac{9}{4},0\right)(0,0,0,1) \right \}\]

\[S^{\perp}_2=\left \{ (2,0,-1,0)\right \}\]

luego

\[\boxed{S_1\cap S^{\perp}_2=\phi}\]

Las bases ortnormales ya las habia sacado. Por eso lo unico que me faltaba de este ejercicio es el apartado b.
Lo que no veo es por que te dió (2,0,1,1) la base de S2 perpendicular. Me da (2,0,1,-1) a mi.

Ahora lo mas importante, por que no es posible la intersección? Es porque la dimensión de una base es diferente a la de la otra?

Observa simplemente que las bases del complemento de S2 y S son LI... son tres vectores linealmente independientes, ademas sin hacer ninguna cuenta podes observar que no hay ningun vector proporcional en ambas bases , por ende la interseccion es vacia... demas esta decir que se tiene que cumplir el teorema de las dimensiones

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(26-11-2013 17:31)KidBuu escribió:  Lo que no veo es por que te dió (2,0,1,1) la base de S2 perpendicular. Me da (2,0,1,-1) a mi.

error de mi parte que ya corregi