Hola, necesito ayuda para realizar esta inecuación, estoy estudiando para el ingreso pero hay un ejercicio que no me sale como esta explicado en el libro de ingreso.

(x+5).(x-3).(4-x) ≤ 0

Yo lo se hacer con la tabla pero me dijo un amigo que se debe hacer como esta en el libro.

Tenes que separar en miembros

(x+5).(x-3).(4-x) ≤ 0

\[(x^{2} + 5x - 3x -15) . (4 - x)\]≤ 0

Haces lo mismo con el termino que te quedo colgado

\[4x^{2} + 20x - 12x -60 - x^{3} - 5x^{2} + 3x^{2} +15x\]≤ 0

Ahi despejas y resolves

\[- x^{3} + 2x^{2} + 23x - 60 \leq 0\]

Lo hice muy rapido, fijate si le erre a algun numero

Pero ahi lo estas cambiando a forma normal al polinomio, si lo queres resolver, tenes que plantear algo como lo siguiente:

(x+5).(x-3).(4-x) ≤ 0

[(x+5).(x-3)] .(4-x) ≤ 0

Tenes un producto que da negativo, entonces tienen que ser signos distintos

[(x+5).(x-3)] ≤ 0 y (4-x) ≥ 0 O [(x+5).(x-3)] ≤ 0 y (4-x) ≥ 0


Y ahi seguis, se entiende?

Lo intente hacer de ese modo y no me sale. El resultado es S=[-5;3]U[4;+∞)

(x+5).(x-3).(4-x) ≤ 0

(x^{2} + 2x -15) . (4 - x)≤ 0

Para que se cumpla esto, el polinomio tiene que estar en su dominio positivo y el otro termino en su dominio negativo, o viceversa. (- * + = - ) o ( + * - = -)

Fijate que las raices del polinomio de segundo grado son -5 y 3. Como el termino cuadratico es positivo, entonces la funcion es concava para arriba U. Quiere decir que tiene valores negativos o iguales a cero entre [-5,3]. Y en ese intervalo el termino (4-X) va ser positivo siempre, por lo que no te afecta en nada ya que la multiplicacion va a dar siempre negativa. Llamemos a esto S1.

Ahora, evaluamos el (4-x)...El cual va a ser negativo o igual a cero en [4;+∞), y si observamos el polinomio, en ese intervalo va a ser positivo. Por lo que la multiplicacion va a seguir siendo negativa.
Esto se llamaria S2

Entonces el resultado es S1 U S2:

S=[-5;3]U[4;+∞)

La S1 ya la habia entendido pero la S2 osea 4-X no sabia si era mayor o igual a cero o menor igual a cero. Muchas gracias por la explicación.

De nada mostro, exitos con el ingreso

Pasa que tenes que hacerlo como esta en el libro explicado... si mal no recuerdo , el tema de concavidad ya es un tema de am1, ...no sé ahora si en el ingreso cambio algo ahora, y en el libro que tenes habla algo de las concavidades.... para demostrar la concavidad positiva o negativa hay que usar derivadas...

observa que no es dificil ... desde donde lo dejo sentey tenes

\[{\color{Red} [(x+5).(x-3)]\leq 0\quad \wedge\quad(4-x) \geq 0\quad{\color{Emerald} \vee}\quad{\color{Blue} [(x+5).(x-3)]\geq 0 \quad \wedge\quad (4-x)\leq 0}}\]

si trabajas todo lo que esta en rojo tenes

\[(x+5\geq 0\wedge x-3\leq 0\wedge 4-x\geq 0) \quad \vee \quad (x+5\leq 0\wedge x-3\geq 0\wedge 4-x\geq 0)\]

resolviendo

\[(-5\leq x\leq 3)\quad \vee \quad \phi\]

vos sabes que

(algo) union (vacio)= algo

entonces unicamente tomas

\[-5\leq x\leq 3\]

con l la misma analogia, trabajas lo que esta en azul

\[(x+5\geq 0\wedge x-3\geq 0\wedge 4-x\leq 0) \quad \vee \quad (x+5\leq 0\wedge x-3\leq 0\wedge 4-x\leq 0)\]

resolviendo

\[(x\geq 4)\quad \vee \quad\phi\]

me quedo con

\[x\geq 4\]

la solucion final es la union de ambos intervalos

\[-5\leq x\leq 3{\color{Emerald} \quad \vee \quad} x\geq 4\]