Buenas. Estaba necesitando algo de ayuda con este enunciado que no estoy seguro como resolver.

Calcular el area de z^2=x^2+y^2 con x^2+y^2 < 4y ; x > 0

No me esta saliendo el tema de encontrar el versor normal, ni los limites de la integral.

Saludos!

Por definicion el area de una superficie esta dada por

\[A=\iint ||g'_u\times g'_v|| dudv\]

parametrizo el cono , y de esa parametrizacion defino la funcion vectorial

\[g:R^2\to R^3 /g(r,t)=(r\cos t,r\sin t,r)\]

la norma del producto vectorial de las parciales de r y t es

\[||g'_r\times g'_t||=\sqrt{2} r\]

por lo tanto

\[A=\iint ||g'_u\times g'_v|| dudv=\iint \sqrt{2}r drdt\]

para obtener los limites, pongo en funcion de g todas las restricciones , la de la circunferencia y la recta x>0, entonces tengo

de la circunferencia

\[0<r<4\sin t\quad (1)\]

de la recta

\[r\cos t>0\quad (2)\]

de (1) por transitivdad

\[\sin t>0\]

de (2)

\[\cos t>0\]

inecuaciones cuya interseccion nos definen que

\[0<t<\frac{\pi}{2}\]

finalmente

\[A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{4\sin t} \sqrt{2}r drdt=2\sqrt{2}\pi\]

con esa parametrizacion solo calcule la parte del area superior del cono , por simetria de la figura multiplico por dos al resultado obtenido , finalmente

\[A=4\sqrt{2}\pi\]

Listo me quedó clarísimo. SOS UN GENIO!

Y con lo del cos nz, sabes como es, porque nunca lo entendí así.

Saga Te hago una pregunta, yo calculé el área por otro método como si mi figura fuera un cono de ecuación z=RAID DE (x^2+y^2)

osea lo que hice fue cortarle la parte de abajo y llegué al mismo resultado que vos. La pregunta es si no me falta multiplicarlo por dos que sería la parte que no calculé para que me de la total

(16-11-2015 13:02)Fedelway escribió:  Y con lo del cos nz, sabes como es, porque nunca lo entendí así.

Nunca entendi porque les gusta complicarse a los profes dando estos temas con los cosenos directores , en general todas las formulitas que te dieron en la cursada salen de la definicion que puse en mi primer mensaje. Usando los cosenos directores vos tenes que

\[A=\iint d\sigma\]

si en particular se observa que la derivada parcial con respecto a z es distnta de cero entonces

\[d\sigma=\frac{dxdy}{||\cos \alpha_3||}\]

pero

\[||\cos \alpha_3||=\frac{||G'_z||}{||\nabla G||}\]

entonces

\[d\sigma=\frac{||\nabla G||}{||G'z||}dxdy\]

reemplazando

\[A=\iint d\sigma=\iint\frac{||\nabla G||}{||G'_z||}dxdy\]

para tu ejercicio hay que despejar z, pero z puede tomar valores positivos y negativos, por simetria de la figura podes solo tomar la parte positiva del cono y despues multiplicarla por dos

defino

\[G(x,y,z)=x^2+y^2-z^2\]

\[d\sigma=\frac{\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}}{2z} dxdy\]

pero

\[z=\sqrt{x^2+y^2}\]

reemplazando y haciendo las simplificaciones necesarias

\[A=2\iint_P_{xy} \frac{\sqrt{2x^2+2y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy=\iint_P_{xy} \sqrt{2}dxdy=\sqrt{2}\iint_P_{xy}dxdy\]

pero la integral doble que queda es el area la mitad de un circulo de R=2 entonces

\[A=2\sqrt{2}\iint_P_{xy}dxdy=2\sqrt{2}\frac{\pi R^2}{2}=4\sqrt{2}\pi\]

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(16-11-2015 17:05)Matias. escribió:  Saga Te hago una pregunta, yo calculé el área por otro método como si mi figura fuera un cono de ecuación z=RAIZ DE (x^2+y^2) osea lo que hice fue cortarle la parte de abajo y llegué al mismo resultado que vos. La pregunta es si no me falta multiplicarlo por dos que sería la parte que no calculé para que me de la total

faltaria multiplicar por 2 al resultado , fijate que lo acabo de plantear

(16-11-2015 17:06)Saga escribió:  ojo que que si lo hiciste asi toma en cuenta que la circunferencia esta desplazada del origen , faltaria multiplicar por 2 al resultado , fijate que lo acabo de plantear

Sí tenes razón jaja y ahora me mataste porque me queda una intersección de circunferencias y de lo quemado que estoy no se como sacarlas, onda necesito el área que está entre x^2+y^2<4 y x^2+(y-2)^2<4 y eso lo multiplico por raiz de 2 y llego al resultado.

(16-11-2015 17:15)Matias. escribió:  Sí tenes razón jaja y ahora me mataste porque me queda una intersección de circunferencias y de lo quemado que estoy no se como sacarlas, onda necesito el área que está entre x^2+y^2<4 y x^2+(y-2)^2<4 y eso lo multiplico por raiz de 2 y llego al resultado.

de donde salen esas circunferencias ?? es otro ejercicio ???

(16-11-2015 17:19)Saga escribió:  

(16-11-2015 17:15)Matias. escribió:  Sí tenes razón jaja y ahora me mataste porque me queda una intersección de circunferencias y de lo quemado que estoy no se como sacarlas, onda necesito el área que está entre x^2+y^2<4 y x^2+(y-2)^2<4 y eso lo multiplico por raiz de 2 y llego al resultado.

de donde salen esas circunferencias ?? es otro ejercicio ???

Es de este, capaz entendí mal el ejercicio eh ojo. Apliqué lo que es sacar área en R^3 como me enseñaron..

si queres proyectar el cono sobre el plano xy, esta mal tu dibujo, si proyecto z=0 entonces tengo que el cono proyectado es

\[x^2+y^2=0\]

la unica posibilidad para que la suma de dos numeros positivos sea cero , es que ambos lo sean , entonces la proyeccion del cono sobre el xy es simplemente un punto el (0,0)

Si cortara al cono con un plano distinto de z=0, ahi si es el dibujo que subiste

(16-11-2015 17:44)Saga escribió:  si queres proyectar el cono sobre el plano xy, esta mal tu dibujo, si proyecto z=0 entonces tengo que el cono proyectado es

\[x^2+y^2=0\]

la unica posibilidad para que la suma de dos numeros positivos sea cero , es que ambos lo sean , entonces la proyeccion del cono sobre el xy es simplemente un punto el (0,0)

Si cortara al cono con un plano distinto de z=0, ahi si es el dibujo que subiste

Nono eran dos circunferencias una era el cono y lo que estaba descentrado era la limitación (el cilindro), igualmente ahí lo subí hecho recién por un profesor, lo raro es que no coincide con lo tuyo y la verdad que los dos parecen estar bien.

Está más arriba así no lleno de imagenes el th

Matias escribió:igualmente ahí lo subí hecho recién por un profesor, lo raro es que no coincide con lo tuyo y la verdad que los dos parecen estar bien.

Está más arriba así no lleno de imagenes el th

lo que no entiendo es de donde esta sacando al final ese 2 "magico" que esta multiplicando a todo el resultado del area de la circunferencia

(16-11-2015 22:56)Saga escribió:  

Matias escribió:igualmente ahí lo subí hecho recién por un profesor, lo raro es que no coincide con lo tuyo y la verdad que los dos parecen estar bien.

Está más arriba así no lleno de imagenes el th

lo que no entiendo es de donde esta sacando al final ese 2 "magico" que esta multiplicando a todo el resultado del area de la circunferencia

Porque para proyectar tiene que haber unicidad punto a punto y acá teniendo un cono arriba y abajo del plano xy que es donde proyecta, no respeta esa condición. Por eso como es área esto y no flujo, trabaja solo con la mitad del cono y al final multiplica por dos

(16-11-2015 22:59)Matias. escribió:  Porque para proyectar tiene que haber unicidad punto a punto y acá teniendo un cono arriba y abajo del plano xy que es donde proyecta, no respeta esa condición. Por eso como es área esto y no flujo, trabaja solo con la mitad del cono y al final multiplica por dos

si si eso lo se... ahora toy en el trabajo en casa voy a revisar mi planteo puedo haberme equivocado en alguna parametrizacion o alguna proyeccion

listo ...cometi un error yo matias , cuando parametrize, no considere la parte del cono de abajo y en la segunda parte no se porque dije "un cuarto de area " ahi lo arreglo, gracias por estar atentos y corregir Matias.