Les agradecería ayuda con estos ejercicios, ya que no estoy encontrando las propiedades a aplicar. Pienso rendir el final en la próx mesa y la profesora no es de ninguna ayuda.

TRANSFORMACIONES LINEALES
Dada la TL T(1,2)=(3,5) y T(1,1)=(-1,-1), responder:
a) Sin realizar cálculos, cuáles son sus autovalores y autovectores?
b) Hallar la matriz de la TL
c) Es diagonalizable? Justificar.
d) Es simétrica? Justificar.

Un autovalor es aquel tal que T(x,y)=L.(x,y)

ahí tenes que T(1,1)=-1.(1,1) O sea, tenes como autovalor L=-1 y autovector X=(1,1). Me falta otro que no lo veo (quizás con alguna propiedad salga, pero no las tengo todas presentes)

Como va de R2 a R2, vas a tener una matriz de 2x2:

a....b____x
______.____= T(x,y)=(u, v)
c....d____y

(no funciona el motor de ecuaciones Latex, así que el abcd encerralo como matriz, y el xy como vector y los "_" como espacio)

Haciendo el producto de eso te queda que

ax+by=u
cx+dy=v

Como te dan los vectores (1,1) y (1,2) y sus resultados los reemplazas y te quedan 4 ecuaciones con cuatro incógnitas, es decir:

a.1+b.1=-1
c.1+d.1=-1

a.1+b.2=3
c.1+d.2=5

resolviendo eso ya vas a tener la matriz, ubicando los abcd en sus lugares correspondientes.

Para saber si es diagonalizable tenes que usar las propiedades de autovectores y autovalores, lo mismo si es simétrica (cosa que vas a ver que NO ES)