Hola, quería pedir ayuda con un tema que no tengo muy claro, es homomorfismo e isomorfismo de grupos.

El ejercicio lo tomaron en el final del 9/12/2015, está en este post: http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-ped...09-12-2015

El ejercicio en cuestión es el 2.a y es: Probar que f: (R; +) --> (R;*) / f(x) = -3x es un isomorfismo.

Gracias!!

¿Cómo estás?

Mirá la cuestión es así.

En el ejercicio te pide mostrar que es isomorfísmo.

Desde el punto de vista teórico, para que sea isomorfísmo tiene que cumplir lo siguiente:

1) Homomorfísmo:
f(x*(1)y) = f(x)*(2)f(y)
Nota: *(1) es la operación del grupo de salida y *(2) es la operación del grupo de llegada.



2) La función debe ser inyectiva:
f(x) = f(y) si y solo sí x = y


En este caso si hacemos:

f(x*(1)y) = f(x+y) = -3(x+y) = -3x - 3y (resultado 1)

Por otra parte, voy del otro lado del igual:

f(x)*(2) f(y) = f(x).f(y) = -3x.(-3y) = 9xy (resultado 2)

Como resultado 1 es distinto a resultado 2, podemos asumir que no hay isomorfísmo.

Links útiles:

Homomorfismo de grupos: https://es.wikipedia.org/wiki/Homomorfismo_de_grupos
Función inyectiva: https://www.youtube.com/watch?v=2-WlL1-Uz7Y

Avisame si tengo algún error o si no fuí claro, quizás cambiando algunas palabras te puedo ayudar.

Saludos y vamos por todo mañana!! Yo también me presento, ojalá no nos maten.

Mira vos era una gilada y no lo hice el miércoles pasado. Yo vuelvo a ir hoy, así que éxitos para los dos! Gracias por la explicación pampa833

Martín , yo también di ese final el miércoles pasado y tampoco supe resolver el punto 2.
Quería saber si pudiste hacer el 2.b gracias!

Mica-96 Para probar que es subgrupo, el conjunto que estés analizando tiene que cumplir 3 cosas:

a) No estar vacío.
b) Estar incluido en el grupo que te dan.
c) Los elementos del subgrupo tienen que tener inverso.

Aclarado esto te paso lo que hice:

El grupo era (R-{0}; *) y el conjunto a analizar A = { x e R - {0}, x = 2k + 1, k e Z}

El primer paso es demostrar que A sea distinto de vacío, para eso le damos un valor entero a k:
k=1: x = 2*1+1 = 3; 3 e A; por lo tanto A distinto de vacío.

El segundo paso es demostrar que A está incluido en mi grupo (R - {0}; *)
Está incluido por definición, fijate que aclara que x e R-{0}.

Y por último, queda demostrar que todos los elementos tienen inverso:

a * a' = 1 --> 1 es el neutro para la multiplicación en R.

a * a' = 1 --> a' = 1/a

Ahora mediante un contraejemplo demostramos que no todos los elementos de A tienen un a' e A:

a = 3 --> a' = 1/3
Por definicion de A: 1/3 = 2k + 1 --> 1/3 - 1 = 2k --> -2/3 * 1/2 = k --> k = -1/3 que no pertenece a Z, por lo que a' no pertenece a A.

En conclusión, (A; *) no es subgrupo.

Graaacias por tomarte el tiempo de explicación, no sabía ni cómo encararlo!
Muchas gracias Martin