Ejercicios que hice mal o sencillamente no supe qué hacer en el parcial


1) Indicar si las siguientes proposiciones son V o F, justificando la respuesta:

a) \[\int_{-\infty}^{0}x.e^{x} \] Es convergente

b)\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{2^{n}+2}\] es divergente

2) Hallar la función f que verifica la ecuación : \[f(x)=4.\int_{0}^{x}f^{2}(t)dt\] y que f(1) = -2

3) Determinar el intervalo de convergencia de: \[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}.(\sqrt{n}+1).(x-1)^{n}}{2n^{3}+3}\]


No tengo resultados... espero puedan ayudarme
Yo los intentaré nuevamente a ver qué me dan...

(20-02-2012 14:53)Julita escribió:  a) \[\int_{-\infty}^{0}x.e^{x} \]

\[\lim_{a->-\infty }\int_{a}^{0}x.e^x\]

La integral x.e^x se puede hacer por partes, te pongo directamente lo que da (es una paja hacerlo en LaTeX )



Nos queda:

\[\lim_{a->-\infty } [e^{x}(x-1)]de.0.a.\"a\"\]

Aplicando Barrow:

\[\lim_{a->-\infty } [e^{0}(0-1)-e^{a}(a-1)]\]

\[\lim_{a->-\infty } [-1-e^{a}(a-1)]\]

\[-1-\lim_{a->-\infty } [e^{a}(a-1)]\]

Falta resolver ese limite (que tiende a 0), entonces la integral te da -1, por lo tanto es una integral que converge a -1

Justamente ese último límite es lo que no podía resolver... pero creo que ya está, si podés subilo

Dale, no lo queria subir porque era una paja , ahi lo subo!

\[\lim_{a\rightarrow -\infty } e^a(a-1)\]

Distributiva

\[\lim_{a\rightarrow -\infty } e^a*a-\lim_{a\rightarrow -\infty } e^a\]

El de la derecha tiende a 0, entonces me quedo con el otro:

\[\lim_{a\rightarrow -\infty } e^a.a\]

Lo escribo como fraccion:

\[\lim_{a\rightarrow -\infty } \frac{a}{e^{-a}}\]

Como numerador y denominador tienden a infinito (revisar bien por qué), puedo aplicar L'Hopital:

\[\lim_{a\rightarrow -\infty } \frac{1}{-e^{-a}}\]

Me queda 1/-infinito, que tiende a 0.

Ok?

Bien gracias.

Uno menos

Alguien que esté de humor para resolver el 2? no tengo idea de qué plantear....
Hice algo recién.. pero creo que mandé fruta a lo loco

El 1b sale por dalambert.

No tengo el resultado y no se si lo hago bien... por eso pedí que alguien los resuelva u.u

Cuánto te da?

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A ver: en el parcial lo hice de otra forma y me dio 2.. y está mal...

Ahora lo hago con D'alembert y llega un momento que no se cómo seguir....

Me queda:

\[\lim_{x->\infty} \frac{2^{n+2}}{2^{n+1}+2}* \frac{2^{n}+2}{2^{n+1}}\]

Hago distributiva:

\[\lim_{x->\infty} \frac{2^{2n+2}+2^{n+3}}{2^{2n+2}+2^{n+2}}\]

Y ahora?

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Mmmm, no se si está bien... si alguien puede reviselo..

\[\lim_{x->\infty}\frac{2^{n+2}*(2^{n}+2)}{2^{n+2}*(2^{n}+1)} \]

Cancelo: \[\lim_{x->\infty}\frac{(2^{n}+2)}{(2^{n}+1)} \]

Divido todo por 2^n

\[\lim_{x->\infty}\frac{(1+\frac{2}{2^{n}})}{(1+\frac{1}{2^{n}})} \]

\[\frac{2}{2^{n}} y \frac{1}{2^{n}}\] tienden a 0 porque n tiende a inf...

Entonces el límite queda igual a 1.

Está bien?

no hagas distributiva, antes simplifica y te queda:
\[2(2^{n}+2)/2^{n+1}+2\]
abajo saca factor comun 2 y te queda:
\[2(2^{n}+2)/2(2^{n}+1)\]
Simplifica los 2. Y saca factor comun : \[2^{n}\]
Te queda:
\[2^{n}(1+2/2^{n})/2^{n}(1+1/2^{n})\]
Simplificas los \[2^{n}\]
y ahi sabes que:
\[lim_{n->\infty }: (1+2/2^{n})/(1+1/2^{n})\]
Es 1/1 ya que \[2/2^{n}\] y \[1/2^{n}\] tienden a 0

Creo que asi esta bien. Que alguien lo confirme. Tengo que dar el final en alguna de estas 2 fechas que quedan ya que se me vence la materia

claro, asi esta bien, el tema es que si da uno, con ese criterio no asegura la convergencia de la serie, asi que no queda otra que plantear el criterio de Raabe, asi que en si el ejercicio estaria incompleto

Si los criterios de D'alambert o Couchy dan como resultado que el limite del cociente de las dos series es igual a 1, nada se puede afirmar de la convergencia o divergencia de la serie, yo lo encararia tomando comparacion directa, para eso tomo la serie geometrica

\[\sum_{1}^{n} 2^n \quad q=2>1\quad\mbox{ divergente }\]

\[a_n=\dfrac{2^{n+1}}{2^n+2}\wedge b_n=2^n\]

se cumple que \[a_n<b_n\rightarrow a_n \mbox{ diverge }\]

el resultado es verdadero. Criticas bienvenidas

Algo hay mal.
Pusiste que Bn > An, si Bn diverge An puede converger...
O no?

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Pero se puede usar la serie armónica: \[\frac{1}{n}\] con \[p=1\] entonces la misma diverge y como: \[Bn=\frac{1}{n}\] => \[An>Bn\] como \[Bn\] es divergente, entonces: \[An\] también lo es...
Resultado: verdadero..

Gente, yo lo hice por raabe y me dio divergente... ya está, muchas gracias...

Más les agradecería que se tomen la molestia de intentar el 2

Ju el 3:

\[f(x)=4.\int_{0}^{x}f^{2}(t)dt\]

Creo que te queda así:

\[F'(x)=4*2*f(x)*1\] Lo que sería la derivada.

mmmm creo que la derivada sería:

4*f^2(x).... igual el problema no es la derivada.... es el ej entero... cómo seguir?

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Bueno, si alguien puede hacer el 2 se lo agradezco... y sino acá dejo más... yo ya los resolví pero no sé si están bien....
Sigo la numeración:

4)

Indicar si las siguientes proposiciones son V o F justificando:

a) Si f es continua y positiva en el intervalo [1; +inf) y \[\lim_{x->\infty}f(x)=0\] entonces \[\int_{1}^{+\infty}f(x)dx\] es convergente.


b) Si \[F(x)=\int_{0}^{x^{2}}e^{t.cost}dt\] entonces F''(0) = 0


5)

Determinar a y b para que coincidan los polinomios de Taylor de 2° grado en x = 1 asociados a las funciones f y g :

\[f:R\rightarrow R/f(x)=x^{2}.e^{x-1}-1\] y \[g:[0;+\infty]\rightarrow R/g(x)=a\sqrt{x}+b(x-1)^{2}-a\]


6)

Analizar la convergencia de \[\int_{2-r}^{2+r}\frac{x-1}{6x}dx\] siendo r el radio de convergencia de la serie \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(n+1)(x-2)^{n}}{3^{n}}\]


7)

Hallar la primitiva de \[f(x)=\frac{sen(lnx)}{x}-\frac{1}{x^{2}+x}\] que pasa por el punto (1;ln2)

8)

Graficar y calcular el área limitada por la gráfica de \[f : D_{f} \rightarrow R/f(x)=lnx\], su recta normal en x=1, y las rectas y=x y x=e.