Hola, dentro de poco tendre el 2do parcial, y me quede clavado en este ejecicio, para ser mas especifico

15) Calcule la masa de los siguientes cuerpos:

parte B

Cuerpo definido por \[z\geq \left | y \right | ; x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\]
si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el plano xy.

Desde ya muchas gracias

Vos sabes que por definicion

\[M=\iiint_V k\delta(x,y,z)dV\]

\[\delta(x,y,z)=|z|\]

el volumen se define como

\[-z<y<z\quad x^2+y^2+z^2<1\]

\[M=\iiint_V kz dV\]

podes tomar coordenadas cilindricas, y multiplico por 4 para ahorrar cuentas

\[g:R^3\to R^3/g(r,\theta,x)=(x,r\cos\theta,r\sin\theta)\quad |D_g|=r\]

\[M=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-r^2}}4r^2\sin\theta dxdrd\theta=\frac{\sqrt{2}}{8}\pi k\]

o las esfericas

\[\\h:R^3\to R^3/g(r,w,\theta)=(r\sin\theta,r\cos w\sin\theta,r\cos w\cos\theta)\quad |D_h|=r^2\cos w\]

con lo que

\[M=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r^3\cos^2w\cos\theta drdwd\theta=\frac{\sqrt{2}}{8}\pi k\]

gracias por responder, y esta bien el planteo solo no entendi una cosa de la forma cilindrica: el parametro de theta, vos lo viste el grafico tomando:
el eje z como x
el eje y como z
el eje x como y ... (se ve mas bonito de esa forma)

Veo que si se proyecta sobre el plano yz (piso), el sombreado empieza de pi/4 a pi/2 tomando el 1er octante (z>=|y|). Aunque lo haga como yo lo veo theta de (pi/4; pi/2) me da negativo el resultado :-/
Mientras te da bien el resultado tomando de [0; pi/4] xD

Saludos.

(24-11-2013 22:05)Winex27 escribió:  gracias por responder, y esta bien el planteo solo no entendi una cosa de la forma cilindrica: el parametro de theta, vos lo viste el grafico tomando:
el eje z como x
el eje y como z
el eje x como y ... (se ve mas bonito de esa forma)

maso menos .... en realidad proyecte sobre ese plano ya que la restriccion de -y<z<y me indicaba de alguna manera que iba a ser mas "simple" a la hora de las cuentas

Cita:Veo que si se proyecta sobre el plano yz (piso), el sombreado empieza de pi/4 a pi/2 tomando el 1er octante (z>=|y|). Aunque lo haga como yo lo veo theta de (pi/4; pi/2) me da negativo el resultado :-/

si lo queres hacer sobre el xy , entonces para calcular el volumen y ahorrar cuentas lo limito al primer octante, por simetria multiplico por 4 , entonces, la integral de volumen se puede calcular como

\[V=\iint_{P_{xy}}\left ( \int dz \right ) dxdy\]

entonces

\[V=4k\iint_{P_{xy}}\left ( \int_y^{\sqrt{1-x^2-y^2}} zdz \right ) dxdy=2k\iint_{P_{xy}}1-(x^2+2y^2) dxdy\]

la proyeccion sobre el plano xy viene dada por la region

\[R:\left \{ x\in R^2/ x^2+2y^2\leq 1 \right \}\]

tomo coordenadas elipticas

\[g:R^2\to R^2/g(r,\theta)=(\sqrt{2}r\cos\theta,r\sin\theta)\quad |D_g|=\sqrt{2}r\]

en estas coordenadas la integral a resolver es

\[2k\iint_{P_{xy}}1-(x^2+2y^2) dxdy=2k\sqrt2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{{\frac{1}{\sqrt{2}}}}r-2r^3 drd\theta=\frac{\sqrt{2}}{8}k\pi\]

me parece que estas viendo mal la "sombra" de la proyeccion , observa que sobre el volumen que nos piden es como un "gajo de naranja" cuyo eje esta sobre el eje x.... y si lo queres proyectar sobre ese plano

entonces el angulo no es como vos indicas

Hola saga! todo bien? mira, yo hice un planteo similar al que hiciste en este ejercicio con esfericas... pero tome el otro angulo, y no llego al resultado de la guia (que vos si llegaste), a ver si me encontras el error porfa en el planteo... quiza le pifie a alguna tonteria:
Hice lo siguiente:

\[m=\int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \int_{0}^{2\pi } k \varrho |cos (\gamma )| \varrho ^2 sen(\gamma ) d\varrho d\gamma d\theta \]

\[0\leq \varrho\leq 1\]
\[0\leq \theta \leq 2\pi \]
\[0\leq \gamma \leq \frac{\pi}{4} \]

La parte de la triple integral que dice: \[k \varrho |cos (\gamma )|\] corresponde a la densidad.
La parte que dice \[\varrho ^2 sen(\gamma )\] corresponde al jacobiano.

Segun el wolfram la integral: \[\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} |cos (\gamma )| sen(\gamma )d\gamma = \frac{1}{4}\] y por las otras dos integrales no hay problema una queda 1/4 y la otra queda 2pi... me queda como respeusta final 1/8 k pi

mmm cual es el cambio de coordenadas esfericas que usaste?? si usaste el habitual entonces el angulo w varia segun tita, y no es el que vos propones , con las cordenadas esfericas habituales las barras de valor absoluto en z no son necesarias, porque solo se esta considerando la parte del eje positivo en z entonces la integral que tenes que resolver

\[M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{arctan\left(\frac{1}{\sin\theta}\right)}\int_{0}^{1} kr^3\cos w\sin w dr dwd\theta=\frac{k\pi}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}k\pi\]

verificalo con wolfram

porque te queda como limite superior de la integral el arco tangente de 1 sobre seno de tita?

Porque te dije que el angulo w varia en funcion de tus coordenadas esfericas que eligiste (imagino que las convencionales y las que las dan en casi todas las cursadas) , si es así, entonces w va a variar (en este ejercicio en particular) y el limite superior en w no es otra cosa que la ecuacion de la "recta" expresada en tus coordenadas elegidas

Si observas bien mis resoluciones , tanto en forma cilindrica como en esferica, para evitar esa variacion fije el eje x en los cambios que hice, de esa manera no tenia el inconveniente en w y podia encontrar los limites de integracion de manera que sean constantes

Sumo la parte c) de este mismo ejercicio con mi desarrollo a ver si me pueden ayudar a ver donde me equivoco.

Calcular la masa de cuerpo definido por:
\[x^2+y^2<=9, 0<=z<=2\]
con densidad en cada punto proporcional a las distancia desde el punto al plano xz. Rta: 72k

Mi desarrollo:

Es un cilindro de radio 3 cortado por dos planos en 0 y 2 que le dan altura dos.
Como dice proporcional al plano xz esto equivale a decir que es k.y

Tomo coordenadas cilindricas: \[(r.cos \varphi, r sen \varphi ,z ) \] con 0<=r<=3, \[0<=\varphi <=2\pi \], 0<=z<=2

Diferencial de superficie igual a: r dz.dr.d\[\varphi\]

ky=k.r.sen \[\varphi\]

Planteo la integral:

\[\int_{0 }^{2\pi}\int_{0 }^{3}\int_{0 }^{2} k.r^2.sen \varphi .dz.dr.d\varphi \]

y el problema es que la integral esta da cero pero no me doy cuenta que es lo que hago mal.

Gracias por la ayuda.

la densidad es

\[\delta(x,y,z)=k|y|\]

ahora pregunto ¿porque sacaste las barritas de valor absoluto sin hacer consideraciones previas?, onda , no leo que te restringan al primer octante o que digan que y>0

La verdad nunca me habia detenido a ver que era modulo. Igualmente me da el mismo resultado con la integral que plantee. Pero si el error pasa por que como lo plantee es como si considerara el 1º octante entonces puedo tomar el angulo entre pi sobre 2 y 0 y luego multiplicar por 4 para agarrar los cuatro octantes que componen el trozo de cilindro. Asi me da el valor correcto pero no entiendo porque no me da si tomo el cilindro entero.

Gracias!

(27-02-2015 02:34)javierw81 escribió:  La verdad nunca me habia detenido a ver que era modulo. Igualmente me da el mismo resultado con la integral que plantee.

Falso , creo que no me entendiste cuando comente lo del valor absoluto , la integral es

\[\iiint_V kr^2|\sin \theta| dV\]

considerando donde la funcion seno es positiva y negativa te queda

\[\\k\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}r^2sin\theta dzdrd\theta+\int_{\pi}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}-r^2sin\theta dzdrd\theta=k(36+36)=72k\]

Hace mucho que no entro con mi perfil, queria agradecer a Saga y a los demas, el 9/02/2015 rendi el final de AM2 y me fue muy bien 9.
Me extraña que este hilo siga vivo de hace mas de un año xD.
Saludos y buena suerte para las proximas fechas.