Hola gente como andan?

Bueno la verdad que estoy leyendo la teoría pero no me dice nada (o es que no la entiendo) de como realizar la suma de S.E.V. Dejo un ejercicio para que me resuelvan y asi pueda yo entender el tema:

Halle S + T y determina de la base y dimesion de esta, para:

\[S =\left \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}/2x-y+z=0 \ \}\]

\[T=\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/x+2y+z=0 \ \}\]

Mi otro problema es con el ejercicio 19 que dice:

19. Sean S1 y S2 subespacios de R3:

\[S_{1}=\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/x=0;y=2z \ \}\]

\[S_{2}=\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/x-y=0;z=0 \ \}\]

Determine un subespacio \[S\subseteq \mathbb{R}^{3}\] tal que \[S_{2}\subseteq S\wedge S_{1}\oplus S=\mathbb{R}^{3}\]

¿Como se resuelve eso?

Muchas gracias y saludos!

Vamos por partes, para el primero, te pueden pedir varias cosas con sumas de subespacios, lo primero que tenes que hacer, cuando te dan dos ecuaciones en el caso de S y T (dos planos), es sacar como se generan, para eso haces:

Para S
2X - Y + Z = 0 => Y = 2X + Z
Por lo que te quedaría:

X E R3 / X = (X,2X+Z,Z) => X (1,2,0) + Z(0,1,1)
Esto lo que te indica es que S se puede generar con esos dos vectores, los cuales son LI, por lo que son base de S

Para T
X + 2Y + Z = 0 => X = -2Y - Z
Por lo que te quedaría:

X E R3 / X = (-2Y - Z,Y,Z) => Y(-2,1,0) + Z(-1,0,1)
Esto te indica que T se puede generar con sos dos vectores, los cuales son LI, por lo que son base de T

Con esto, llegamos a que:

S + T = gen{(1,2,0),(0,1,1),(-2,1,0),(-1,0,1)}

Si te piden la base de S+T entonces tenes que verificar que los vectores q generan S+T sean LI.

Espero te sirva, después te paso lo de intersección de subespacios y suma directa.

Slds.
Pablo

Grosoooo, muchas gracias!

edit: Nada importante

Disculpen por revivir este tema, pero alguno sabe como se realiza el ejercicio 19?? Gracias!

No es el que se resolvio en el mensaje 2???

Y otra consulta, en el que explica worzy, ¿xq para S despeja Y y para T despeja X? Como sabemos cual despejar? Ya que el resultado cambia....

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No, el aclaro al final que después se lo pasaba, supongo q lo habrá hecho por MP.

(08-02-2014 17:41)mantovan234 escribió:  Y otra consulta, en el que explica worzy, ¿xq para S despeja Y y para T despeja X? Como sabemos cual despejar? Ya que el resultado cambia....

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No, el aclaro al final que después se lo pasaba, supongo q lo habrá hecho por MP.

Te respondo la consulta del 1er ejercicio: da igual que despejes en realidad, de cualquier forma vas a terminar encontrando dos vectores que generen ese subespacio..

(08-02-2014 17:53)Burgar escribió:  

(08-02-2014 17:41)mantovan234 escribió:  Y otra consulta, en el que explica worzy, ¿xq para S despeja Y y para T despeja X? Como sabemos cual despejar? Ya que el resultado cambia....

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No, el aclaro al final que después se lo pasaba, supongo q lo habrá hecho por MP.

Te respondo la consulta del 1er ejercicio: da igual que despejes en realidad, de cualquier forma vas a terminar encontrando dos vectores que generen ese subespacio..

Si, pero vectores diferentes...
Al fin y al cabo dara lo mismo? tengo problemas con ese mismo ejercicio, piden que diga qué generan esos vectores. lo hice por gauss y me da cualquier cosa...

(08-02-2014 17:21)mantovan234 escribió:  Disculpen por revivir este tema, pero alguno sabe como se realiza el ejercicio 19?? Gracias!

geometricamente S1 y S2 rectas para que se cumpla simultaneamente el enunciado ambas rectas deben pertenecer a un plano que las contenga... solo tenes que hacer el producto vectorial entre los vectores directores de ambas y obtener la ecuacion del plano S que las contiene

Saga, se puede entender que el vector director, por ej de S2 es (1,1,0) ? Ya que x1=x2 y x3=0....?
Y.. supongamos q S es el plano, S2 esta incluida en él. Pero S1 + S tienen que generar R3, eso no entiendo como hacerlo....

(08-02-2014 17:58)mantovan234 escribió:  

(08-02-2014 17:53)Burgar escribió:  

(08-02-2014 17:41)mantovan234 escribió:  Y otra consulta, en el que explica worzy, ¿xq para S despeja Y y para T despeja X? Como sabemos cual despejar? Ya que el resultado cambia....

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No, el aclaro al final que después se lo pasaba, supongo q lo habrá hecho por MP.

Te respondo la consulta del 1er ejercicio: da igual que despejes en realidad, de cualquier forma vas a terminar encontrando dos vectores que generen ese subespacio..

Si, pero vectores diferentes...
Al fin y al cabo dara lo mismo? tengo problemas con ese mismo ejercicio, piden que diga qué generan esos vectores. lo hice por gauss y me da cualquier cosa...

Si son diferentes por que hay muchas respuestas correctas, osea hay muchos conjuntos generadores para el mismo subespacio entendes? No hay una sola respuesta correcta