¿Se puede calcular la imagen de una función analíticamente?

(28-04-2012 14:17)► GABO ◄ escribió:  ¿Se puede calcular la imagen de una función analíticamente?

Sep, siempre es posible, por algun metodo matematico o numerico, de que función tenes que hallar la imágen?

Esta: \[y=-x^{2}+4x-3\]

Según el cuadernillo, el conjunto imagen es \[I = (-\infty ; 1]\]

Completa el cuadrado de la funcion, sabes hacerlo ?? fijate que una vez completando cuadrados la función queda

\[-(x-2)^2+1=y\to (x-2)^2=1-y\]

de ahí podés concluir el resultado que figura en la guía

LLego a la forma canónica, pero no me doy cuenta de cuál es el razonamiento que hacés para saber que la imágen es esa a partir de la forma canónica

Okis me imagino que llegaste hasta

\[(x-2)^2=1-y\]

si pasamos el cuadrado como raiz

\[|x-2|=\sqrt{1-y}\]

me interesa el segundo miembro de la ecuacion que es donde esta la variable y, si recordas del ingreso hay tres situaciones en las que se deben aplicar restricciones sobre el dominio de una funcion

1) en cocientes
2) en raíces
3) en logaritmos

en este caso estamos en 2)

entonces solo hay que analizar cuando

\[1-y\geq 0\]

de donde finalmente \[I=\left \{ y\in R/ y\leq 1 \right \}\] o equivalentemente, el intervalo propuesto como respuesta en la guía

Ahhhhhhhhh

Osea que para sacar el conjunto imagen de una funcion es igual que para sacar el dominio, pero las restricciones tiene que ser aplicadas a y! Siempre pensé que para sacar la imagen, habia que razonarla

Gracias mil

(28-04-2012 15:51)► GABO ◄ escribió:  Ahhhhhhhhh

Osea que para sacar el conjunto imagen de una función es igual que para sacar el dominio, pero las restricciones tiene que ser aplicadas a y!

tal cual

Cita:Siempre pensé que para sacar la imagen, habia que razonarla

Y.... esta forma para mi es mas sencilla, solo es dejar la variable y solita, y aplicar las restricciones del dominio, hay otras maneras de hallar la imágen, en lo personal prefiero la que te detalle en mi mensaje

Creo que la mejor manera y mas bonita para presentar es armar el gráfico de la función pero dudo que puedas hasta que no llegues al primer parcial xd

(28-04-2012 16:03)Feer escribió:  Creo que la mejor manera y mas bonita para presentar es armar el gráfico de la función pero dudo que puedas hasta que no llegues al primer parcial xd

En este caso no es complicado el gráfico asociado a la función, pero en otras situaciones tenés que tener herramientas algebraícas o númericas para el cálculo de la imágen. Hay varias, una es la que propongo