Les dejo un resumen de los temas teoricos del primer parcial de esta materia, espero les sirva

1) Definición de derivada direccional

\[\\Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R^n}}, A\in{H}\ punto\ interior\ y\ \hat{u}\in{R^n}\]

\[\\se\ define\ la\ derivada\ de\ f\ en\ A\ segun\ el\ versor\ \hat{u}\ como\]

\[f'(A,\hat{u})=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(A+h\hat{u})-f(A)}{h}}\]

2) Difereciabilidad

\[\\Dada\ f: H\subset R^n\to R^n/ A\in H \ punto\ interior\ se\ dice \ que \ f\ es\ diferenciable\ en\ A\ si\]

\[f(x)=f(A)+Df(A)(x-A)+\epsilon(x)\leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to{A}}{\dfrac{\epsilon(x)}{||x-A||}}=0\]

OBS:

\[a)\ f\ diferenciable\ en\ A\ \Longrightarrow{f\in{C^0}}\ en\ A\]

\[b)\ f\ diferenciable\ en\ A\ \Longrightarrow{f}\ es\ derivable\ y\ ademas\ f'(A,\hat{u})=Df(A)\hat u\]

3) Teorema

\[Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R^n}}, f\in{C^1}\ en\ A\Longrightarrow{f}\ es\ diferenciable\ en\ A \]

4) Teorema de Taylor

\[a)\ Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}, f\in{C^1}\ en\ A\ \to\]

\[ f(x)=f(A)+Df(A)(x-A)+\epsilon(x)\leftrightarrow \lim_{x\to A}\dfrac{\epsilon(x)}{||X-A||}=0\]

\[\\b)\ Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}, f\in{C^2}\ en\ E(A)\to\]

\[\to f(x,y)=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+\]

\[+\dfrac{1}{2}\left( f''_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+f''_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2+2f''_{xy}(x_0,y_0)(y-y_0)\right)+\]

\[+\epsilon(x_0,y_0)\leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to{A}}{\dfrac{\epsilon(x,y)}{||x-A||}}=0\]

5) Teorema "Regla de la Cadena"

\[\\Dada\ g:H_1\subset{R^n\longrightarrow{R^m}}\ g\ diferenciable\ en\ A\in{H_1}\ y\ \\\\f:H_2\subset{R^m\longrightarrow{R^p}}\ f\ diferenciable\ en\ g(A) \\\\\to h=f\circ{g}\ es\ diferenciable\ en\ A\ y\ ademas\ Dh(A)=Df(g(A))\cdot Dg(A)\]

6) Teorema "Función implícita"

\[Dada\ F:H\subset{R^3\longrightarrow{R}}\quad F\in{C^1}/F(A)=0\quad\wedge\quad F'_z(A)\neq{0}\Longrightarrow\]

\[la\ ecuacion\ F(x,y,z)=0\ define\ en\ forma\ implicita\ una\ funcion \]

\[z=f(x,y)\ f\in{C^1}/f(x_0,y_0)=z_0\to\ las\ derivadas\ de\ f\ se\ obtienen\ haciendo\]

\[\\f'_x(x_0,y_0)=-\dfrac{F'_x(x_0,y_0,z_0)}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}\\\\\\ f'_y(x_0,y_0)=-\dfrac{F'_y(x_0,y_0,z_0)}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}\]

7) Definición extremos absolutos y locales

a) Dada \[f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}\quad A\in{H}\] se dice que f(A) es máximo absoluto de f si \[f(A)\geq{f(x)}\forall{x\in{H}}\]

b) Dada \[f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}\quad A\in{H}\] se dice que f(A) es máximo local de f si \[f(A)\geq{f(x)}\forall{x\in{E(A)}}\]

c) Teorema

Dada \[f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}\] f diferenciable / \[f(A)\] es extremo local \[\Longrightarrow{\nabla f(A)=\vec{0}}\]

d) Teorema

Dada \[f:H\subset{R^2\longrightarrow{R}},f\in{C^2}\] en \[E(A)/ \nabla f(A)=\vec{0}\]

1) \[det(H(A))>0 \wedge f''_{xx}(A)>0\Longrightarrow{f(A)}\] es mínimo local

2) \[det(H(A))>0 \wedge f''_{xx}(A)<0\Longrightarrow{f(A)}\] es máximo local

3) \[det(H(A))<0\Longrightarrow{f(A)}\] es punto de ensilladura

4) \[det(H(A))=0\] el teorema no concluye

8) Conjuntos de nivel

a) Curva de nivel

Dada \[f:H\subset{R^2\longrightarrow{R}}\quad k\in{R}\] se define la curva de nivel k de f

\[C_k=\left\{\bar{x}\in{R^2}/f(\overline {x})=k\right\}\]

b) Superficie de nivel

Dada \[f:H\subset{R^3\longrightarrow{R}}\quad k\in{R}\] se define como superficie de nivel k de f

\[S_k=\left\{\bar{x}\in{R^3}/f(\bar{x})=k\right\}\]

c) Teorema

Dada la curva \[C \in{R^2}\] definida como \[f(x,y)=k, f\in{C^1}/ \nabla f(x,y)\neq{0}\Longrightarrow{\nabla f(A)}\] es ortogonal a S en A

d) Teorema

Dada la superficie \[S \in{R^3}\] definida como \[f(x,y,z)=k, f\in{C^1}/ \nabla f(x,y,z)\neq{0}\Longrightarrow{\nabla f(A)}\] es ortogonal a S en A

9) Curva regular en \[R^2\]

Dada \[C\in{R^2}\] definida como \[f(x,y)=k,f\in{C^1}\] se dice que \[A\in{C}\] es un punto regular si \[\nabla f(A)\neq{\vec{0}}\]

OBS

Recta tangente \[\nabla f(A)(x-A)=0\]

10) Superficie regular en \[R^3\]

Dada \[S\in{R^3}\] definida como \[f(x,y,z)=k,f\in{C^1}\] se dice que \[A\in{S}\] es un punto regular si \[\nabla f(A)\neq{\vec{0}}\]

OBS

Plano tangente \[\nabla f(A)(x-A)=0\]

Recta normal \[\bar{X}=A+t(\nabla f(A))\quad t\in{R}\]

11) Curval regular en \[R^3\]

Dada \[C\subset{R^3}\] definida por las ecuaciones \[F(x,y,z)=k_1\quad G(x,y,z)=k_2\quad F\wedge G \in{C^1}\] se dice que

\[A\in{C}\] es un punto regular si \[v_0=\nabla F(A)\times{\nabla G(A)}\neq{\vec{0}}\]

OBS

Recta tangente \[\bar{X}=A+tv_0\quad t\in{R}\]

Plano normal \[v_0(x-A)=0\]

12) Propiedad

Dada \[f:H\subset{R^2\longrightarrow{R}},f\in{C^1}\Longrightarrow{}\] el gráfico de f es una superficie regular

Demostración

El gráfico de \[F(x,y,z)\] viene definido por la ecuación \[z=f(x,y)\] definimos entonces \[F(x,y,z)=f(x,y)-z\]

El gráfico de \[f(x,y)\] es entonces la superficie de nivel 0 de \[F(x,y,z)\] como \[f\in{C^1}\Longrightarrow{F\in{C^1}}\]

ademas \[\nabla F=(f'_x,f'_y,-1)\neq{0} \forall{x \in{}}\] en el gráfico de \[f(x,y)\] luego el gráfico de \[f(x,y)\] es una superficie

regular

OBS

Plano tangente al gráfico de \[\red f(x,y)\]

\[z=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)\]

Aclara que es de am I en el titulo!

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o AM II? JAJA

(30-03-2012 13:14)mardo182 escribió:  Aclara que es de am I en el titulo!

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o AM II? JAJA

Off-topic:

Está en el subforo de AMII

Muy buen aporte, conciso y bien completo

Off-topic:

jaja no lo vi, yo estoy cursando am I y ya me queria suicidar jaja

Esto que onda?
Te lo toman así en seco?
Te ponen defina extremos y mandas eso y se acabo?xd

(30-03-2012 13:22)Feer escribió:  Esto que onda?
Te lo toman así en seco?
Te ponen defina extremos y mandas eso y se acabo?xd

Claro que sí Feer, igual como me dijo Saga en su momento... cada vez están más fáciles los finales. Con que leas este topic un par de veces aprobás.

(30-03-2012 13:22)Feer escribió:  Esto que onda?
Te lo toman así en seco?
Te ponen defina extremos y mandas eso y se acabo?xd

Tal cuál te dijo maty feer, te ponen defina extremos o enuncie tal teorema y con leer este resumen o el que te armes vos, alcanza inclusive en los finales es asi

A bueno, gracias entonces jaja, después voy a ver si armo algo entre las cosas que fui encontrando, muchas gracias

se agradece !!

Se re agradece:)Me viene muy bien. Nomas critico que no aparezca "análisis 2" en el titulo del th

a simple vista, lo que me parece que te faltó y suelen preguntar es derivada parcial, o al menos como OBS que es lo mismo que la direccional solo que el versor es canónico.

igual mis resúmenes teóricos para el 1er parcial eran 20 hojas con letra medianamente chica
está bien que tienen demostraciones y todo, pero me hace pensar si estoy estudiando "exageradamente" teoría para el final?

Yo tengo entre los dos exámenes parciales 9 hojas... (letra grande)

Lo que postee aca, por lo menos para mi fue suficiente y alcanzo para el primer parcial, ademas es un resumen que lo paso la propia profesora, para los finales que fui resolviendo, ví que tambien alcanza, tengo una segunda parte que no subo, porque considero que no es necesario, hay tantos resumenes de teoria dando vueltas en el foro que, uno mas no hace diferencia, igual es solo como una "guia" lo que deje aca, cada uno estudia de sus propios apuntes o de donde mejor crea conveniente

saga, ¿te copás y lo hacés en un editor de latex para tener los fuetnes y pasarlo a PDF? o sino subite un archivo para descargar.

Esto es oro en polvo... y en Europa no se consigue... que laburo che... muy bueno.