Buenas!

Paso acá el enunciado del final de Matemática superior que me tomaron el martes pasado.
Dieron 20 minutos para copiar los enunciados y dos horas en total para resolver los ejercicios. Quienes tuvieron un 60% o más del examen bien, se tomaba un examen oral como segunda instancia.

Ejercicios:
1. Sea \[G(s) = \frac{20 (s^2- Ks+4) }{ (s^3+7s^2+19s+13)(s-4)}\] la función de transferencia de un sistema estable, halle la respuesta del sistema para la entrada \[ f(t) = e^t(1+2t) \]

2. Dada la función \[f(x) = e^x-x^2-4x\] analice si la función \[g(x) = ln(x^2+4x)\] puede ser utilizada para obtener cada una de las raíces reales por el método de PUNTO FIJO y halle las que se puedan con error < 10^-2.

3. Halle k perteneciente a R tal que el polinomio de menor grado que interpola todos los siguientes puntos sea de grado 3.
(0;6) (1; k) (4;34) (5;66) (7;202) (8;318)

4. Dado el problema de valor inicial
y'(t^2+t)-y=0 con y(1)=0.5
Si se cumple la condición de Lipschit en R siendo \[R=\{(t,y)/0.5 \leq t \leq 10 ; 0\leq y \leq10 \}\]
Halle y(2) con h=0,5 mediante R-K de 4to Orden.

5. Sea f(t)=3-t en (0;2)
Complete gráfica y analíticamente f con el menor período T que lo permita de modo que tenga simetría de media onda y todos los coeficientes de la Serie Exponencial de Fourier sean reales.

Que tal, recordas lo que te tomaron en el oral de superior?
Vale la pena sacarse un 8 para no ir al oral? O les tomaron tambien a los que tenian mas de un 7?
Gracias y saludos!

Buenas,
En el oral, tomaban 5 preguntas de las que tenias que responder 3 bien por lo menos y se las toman a todos los que aprobaron el escrito sin importar la nota.
Yo respondi las 3 primeras bien asi que no me preguntaron las ultimas 2, pero las preguntas son muy similar a las teóricas de los finales antes de la virtualidad.
Creo que me preguntaron que significa que una funcion sea exponencialmente creciente, cuales son las condiciones para que una matriz converja y daban un ejercicio de interpolacion de puntos y habia que decir cual era el polinomio de menor grado que pasaba por todos los puntos.

En mi opinión, vale la pena intentar promocionarla de una pq en el final si o si tenes que rendir las dos instancias (escrito y oral) que es mas o menos lo que te tomarían en la cursada (parciales+coloquio).
Saludos!

Hola,

Serian tan amables de decirme como plantean la condición de Lipschit para la ecuacion y'(t^2+t)-y=0 con y(1)=0.5, no entiendo como hacer con el tema de que y' dependa de t2 + t??
Plantie lo siguiente

\[ f(t, y) = y'(t^2 + t) - y \]
\[| f(t, y1) - f(t, y2) | = | y'(t^2 + t) - y1 - y'(t^2 + t) + y2| = | -y1 + y2 |\]

Pero probablemente este mal ya que no hice nada con el y' que depende de t y no llego al L, algun centro con esto?

Gracias!

Holii

Tomame con pinzas, pero creo recordar que:
Tomar: y'(t^2+t)-y=0
Tal que: y'(t^2+t)=y
Luego hacerla más simple: y'=y
Derivar respecto de y: y''=1
Y de acá tomabas el máximo de la función resultante en módulo del intervalo [a, b], que era el perteneciente a t. O sea [0,5; 10]
El asunto es que hasta ahora nunca había visto que quede una función constante.
No se si es un error mío o qué se hace en esos casos.

Si llego a encontrar la respuesta, te digo. Besis

Hola,

gracias por tomarte el laburo, me hace ruido que y'=y sobre todo por que vos llegaste a que y'(t^2+t)=y osea que y' evaluada en t^2+t es igual a y, asi que y' solamente no debe ser igual a y pero bueno, capaz alguien lo puede explicar mejor, capaz copiaron mal el enunciado, es un ejercicio un toque raro...

Gracias!

Holi de vuelta

Hurgué un poco mi carpeta de superior y de ahí te transcribo:
Una ecuación diferencial se puede resolver por un método numérico si está bien planteada:
* t pertenece a [a, b] e y pertenece a [c, d]
1. f(t, y) = y' es continua en [a, b]
2. La ED cumple la condición de Lipschitz. Siendo ella:
Sea f(t, y) que cumpla (1. ) y los intervalos descritos en (*): "Existe al menos un" L perteneciente a R+ (reales positivos) tal que f(t, y1) - f(t, y2) <= L*|y1-y2|.
Luego L=Max[a<=t<=b](|d f(t, y) / d y|)
Siendo importante resaltar que Lipschitz es condición suficiente pero no necesaria para la resolución propuesta.

En cuanto a que "vuelan" los argumentos de la y' evaluada en un punto a la hora de calcular su derivada, tal que puede escribirse como y''=d y'(t) / d y=a (u otra función), al momento de calcular L, quise encontrar una demostración un poco más rigurosa que incluya derivadas parciales que pueda servir, porque creo que va por ahí, pero no pude lo único que puedo decir es que tengo varios resueltos donde los profes lo hacían de esta forma, así que te ruego que me creas.

Con esto, podemos concluir que al tratarse del conjunto R continuo en el área de estudio y el previo cálculo de L, la ED cumple Lipschitz y puede resolverse por un método numérico, siendo L no único (y aparte no pedían calcularlo, por algo será). Luego se aproxima el valor pedido por el método indicado.

De más está decir que es un buen ejercicio para preguntar. Besis

Muchas gracias por tomarte el laburo!

Un abrazo!