Acá les dejo el final que se tomo hoy. No lo tengo resuelto, sean libres de hacerlo si quieren

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Perdón no se envió la primer imagen y no puedo editar el post desde el celu.

El de inducción puede ser asi?

En el paso base queda que: \[x^{2}-y^{2}=(x-y).k\] que es igual que decir \[x+y=k, k \in Z\], no?

En la hipótesis: \[x^{2h}-y^{2h}=(x-y).q, q \in Z\]

Tesis: \[x^{2h+2}-y^{2h+2}=(x-y).t, t \in Z\]

Demostración:
Agregando lo que está en negrita queda ese choclo, pero aparece la hipótesis:

\[x^{2h+2}-y^{2h+2}=\]

\[x^{2h}x^{2} \mathbf{- x^{2h}y^{2} + x^{2h}y^{2}} - y^{2h}y^{2}=\]

\[x^{2h}(x^{2}-y^{2})+y^{2}(x^{2h}-y^{2h})=\]

\[x^{2h}(x^{2}-y^{2})+y^{2}(x-y).q=\]

\[=x^{2h}(x^{2}-y^{2}).k+y^{2}(x-y).q\]

Falta algún paso o con esto quedaría demostrado?

O de casualidad alguien sabe otra forma de resolución más sencilla?

2b: La respuesta correcta es {3;16} ... Me confundí al hacer 54/18, puse 4 en vez de 3.
   

3:
   



4- Lo hice igual a Gan.

5-
la gramatica es tipo 3 porque tiene del lado 'derecho' solamente un terminal o un termina y un no terminal. Del lado izquierdo solo tiene no terminales.

Haces el automata y te queda sin bucles ó "caminos que vuelvan al mismo punto" entonces decís que es finito.

Trisky, en el 3.a) el ¬p lo tenés que descomponer también creo, asi:

   

Y en el 3.b) te queda p, ya que p <=> V equivale a p:

\[p \leftrightarrow V\]

\[(p \rightarrow V) \wedge (V \rightarrow p)\]

\[(\sim p \vee V) \wedge (F \vee p)\]

\[V \wedge p\]

\[p\]

En el 1) me quedó lo siguiente:

Z3XZ2 es un grupo abeliano y cíclico con 2 generadores y 4 subgrupos (1 de orden 1, 1 de orden 2, 1 de orden 3 y 1 de orden 6).

<(0,0)> = {(0,0)}
<(0,1)> = {(0,0),(0,1)}
<(1,0)> = {(0,0),(1,0),(2,0)}
<(1,1)> = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)} generador
<(2,0)> = {(0,0),(1,0),(2,0)}
<(2,1)> = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)} generador

Subgrupos:

H1 = <(0,0)>
H2 = <(0,1)>
H3 = <(1,0)> = <(2,0)>
H4 = <(1,1)> = <(2,1)>

Red (inclusión):

   

Índices (G es Z3XZ2):

[ G : H1 ] = 6
[ G : H2 ] = 3
[ G : H3 ] = 2
[ G : H4 ] = 1

El subgrupo de mayor orden distinto del generador es H3 (orden 3) y su grupo cociente asociado es:

G/H3 = {{(0,0),(1,0),(2,0)},{(0,1),(1,1),(2,1)}}

En el 4) de inducción lo resolví de una manera más sencilla, "acomodando" la hipótesis:

H) n=h
\[x^{2h} - y^{2h} =(x-y).q\]
\[\Rightarrow x^{2h} = (x-y).q + y^{2h}\]

Demostración:

\[x^{2h+2} - y^{2h+2} = x^{2h}x^{2} - y^{2h}y^{2} =\]

Hacemos aparecer la hipótesis acomodada:
\[((x-y).q + y^{2h})x^{2} - y^{2h}y^{2}\]

Hacemos distributiva el término con \[x^{2}\]

Después factor común \[y^{2h}\]

Abrimos la diferencia de cuadrados y termina quedando algo asi:
\[y^{2h}(x+y)(x-y)+x^{2}(x-y)q\]

\[(x-y).[y^{2h}(x+y)+x^{2}.q]\]

Si reemplazamos lo que está adentro de los corchetes por t:
\[(x-y)t, t \epsilon \mathbb{Z}\]

\[\Rightarrow x^{2h+2} - y^{2h+2}=(x-y)t\]

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Trisky, hice el 2b) pero me dió que las soluciones son 3 y 16. Con tus resultados no verifica, te fijaste?

\[18x \equiv 2(13)\]

\[X = A^{\varphi(n)-1 }.B\]

\[X = 18^{\varphi(13)-1 }.2 = 18^{11}.2\]

\[18 \equiv 5(13)\]

\[18^{2} = 324 \equiv 12(13)\]

\[18^{5} = 1889568 \equiv 5(13)\]

\[\Rightarrow X = 18^{11}.2 = (18^{5})^{2}.18.2 \equiv (5)^{2}.5.2 (13) = 250\]

\[250 = 19.13 + r \]

\[\Rightarrow r = 3\] (en Z13)

En Z26 sería {3,16}

Hola, alguien pudo resolver el 2a??

MauricioF, estaba buscando la solución a ese ejercicio y de pedo me encontré con un pdf de la UCA donde explican el mismo jajaja

Nos piden que demostremos que \[3.5^{2n+1}+2^{3n+1} \equiv 0 (17)\]

Esto es lo mismo que decir:

\[(3.5^{2n+1}+2^{3n+1}) - 0 = 17.k\] con \[k \epsilon \mathbb{Z}\]

O sea, nos están pidiendo demostrar que ese choclo es múltiplo de 17 sin importar que valor tome n! (el ejercicio no lo aclara pero n debería ser un entero positivo o 0, supongo)

\[3.5^{2n+1}+2^{3n+1} = 17.k\]

Primero, aclaremos las aguas un cacho. Vamos por partes:

\[3.5^{2n+1} = 3.(5^{2})^{n}.5 = 15.25^{n}\]

\[2^{3n+1} = (2^{3})^{n}.2= 2.8^{n}\]

Analizando la congruencia módulo 17:

\[15 \equiv -2(17)\]

\[25 \equiv 8(17) \Rightarrow 25^{n}\equiv 8^{n}(17)\] (esto es una propiedad de congruencia)

Entonces

\[15.25^{n} \equiv -2.8^{n}(17)\]

\[15.25^{n} + 2.8^{n}\equiv 0(17)\]

Por lo tanto,

\[3.5^{2n+1}+2^{3n+1} \equiv 0 (17)\]

Gracias! Me trababa en la parte de analizar la congruencia mod 17.

en el 3b no había salido en la foto el último paso, donde queda P

gan

En el 3A, para mi está bien como lo hice yo, porque la operaciones deben ser binarias y en el que hiciste vos, ~ no es binaria.

Tal vez tengas razón. alguien da el final hoy?

donde aprendiste a hacer el 2b así? quiero aprender pero no se de donde

EDIT: ya encontré mi error en el 2b. 54/18 = 3 (no 4, como puse ahí! jaja)

alguien puede explicar el ejercicio 1 de grupos? no entiendo a que se refiere con +3 y +2 de cada uno de los grupos.
Gracias

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(30-09-2014 22:51)gan escribió:  En el 1) me quedó lo siguiente:

Z3XZ2 es un grupo abeliano y cíclico con 2 generadores y 4 subgrupos (1 de orden 1, 1 de orden 2, 1 de orden 3 y 1 de orden 6).

<(0,0)> = {(0,0)}
<(0,1)> = {(0,0),(0,1)}
<(1,0)> = {(0,0),(1,0),(2,0)}
<(1,1)> = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)} generador
<(2,0)> = {(0,0),(1,0),(2,0)}
<(2,1)> = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)} generador

Subgrupos:

H1 = <(0,0)>
H2 = <(0,1)>
H3 = <(1,0)> = <(2,0)>
H4 = <(1,1)> = <(2,1)>

Red (inclusión):



Índices (G es Z3XZ2):

[ G : H1 ] = 6
[ G : H2 ] = 3
[ G : H3 ] = 2
[ G : H4 ] = 1

El subgrupo de mayor orden distinto del generador es H3 (orden 3) y su grupo cociente asociado es:

G/H3 = {{(0,0),(1,0),(2,0)},{(0,1),(1,1),(2,1)}}

Como llegaste a esto gan?

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(30-09-2014 22:51)gan escribió:  En el 1) me quedó lo siguiente:

Z3XZ2 es un grupo abeliano y cíclico con 2 generadores y 4 subgrupos (1 de orden 1, 1 de orden 2, 1 de orden 3 y 1 de orden 6).

<(0,0)> = {(0,0)}
<(0,1)> = {(0,0),(0,1)}
<(1,0)> = {(0,0),(1,0),(2,0)}
<(1,1)> = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)} generador
<(2,0)> = {(0,0),(1,0),(2,0)}
<(2,1)> = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)} generador

Subgrupos:

H1 = <(0,0)>
H2 = <(0,1)>
H3 = <(1,0)> = <(2,0)>
H4 = <(1,1)> = <(2,1)>

Red (inclusión):



Índices (G es Z3XZ2):

[ G : H1 ] = 6
[ G : H2 ] = 3
[ G : H3 ] = 2
[ G : H4 ] = 1

El subgrupo de mayor orden distinto del generador es H3 (orden 3) y su grupo cociente asociado es:

G/H3 = {{(0,0),(1,0),(2,0)},{(0,1),(1,1),(2,1)}}

Como llegaste a esto gan?

+3 es la suma q se hace en el grupo de los Z3 y el +2 es otra suma que se hace en el grupo de los Z2.

Chicos, alguno hizo el de la relación de equivalencia?