[FOTO al final]

Buenos días, les dejo el final que tomaron ayer, miércoles 07/02/2018.
La verdad fue bastante accesible, éramos pocos, una sola aula y por lo que vi en las caras (?) aprobaron varios, yo una de ellos (después de arrastrar ésta materia por años, no sean como yo!)

En el punto 1) Sabiendo que (G,*) es semigrupo:
a) Definir inversibles de G
b) No me acuerdo si decía probar que G es grupo o Explicar por qué G es grupo
c) dar INV de Z12. Dar grupo cociente que genera H = <7>

2) a) resto de dividir 2 a la 2011 por 12 creo que era
b) Probar que si a=(congruente) con b ( n ) entonces rn (a)= rn (b)

3) Redes: pusieron una tabla espejada hacia arriba de la diagonal principal, era la de ^ (invertido) tenías que completarla, hacer el diagrama de Hasse, hacer la de ^, explicar si era un algebra de Boole.

4) Un árbol dado en notación polaca inversa, recuperarlo, darlo en polaca y dar el valor de la expresión: 6 4 3 - 5 / + 7 9 2 8 * - * +

5) Eran 4 VoF, el primero es era:
a- Si un conjunto está ordenado, siempre tiene primer elemento
b- Si un Grupo tiene 4 elementos al menos 2 son su propio simétrico
c- El grado K4 y el K4,1 son isomorfos y existe un camino de Euler en cada caso.
d- Expresión que no recuerdo, es un álgebra de Boole.


Saludos y éxitos!

[EDITADO]
Buenas tardes utnianos, les dejo la foto del parcial para que puedan ver todo en detalle, la pude subir en éstos días.
Saludos!

Buenas, tengo que rendir la materia este miércoles 21/2 y me surgieron un par de dudas al hacer este final. Desde ya gracias por subir el final.
Yo lo resolví asi:

1)a) Supuse que había que poner la definición general de inversible, que sería:
INV(G) = {x ∈ G/ x' ∈ G}, conjunto de todos los elementos que tienen simétrico en el conjunto G respecto de la operación *.

b) INV(G) ∈ G y (G, *) es semigrupo con neutro, entonces INV(G) también lo es. Todos los elementos de INV(G) tienen simétrico. Por lo tanto, INV(G) es grupo.

c) INV (Z12) = {1, 5, 7, 11}
No se cómo hacer el grupo cociente.

2)a) aca la duda es si Z12 representa el modulo 11 o modulo 12: 2^2011 (11) o 2^2011 (12) ? En caso que sea modulo 11, lo supe resolver y me dio como resultado 2(11). Si es modulo 12, no lo se resolver.

b) No entiendo que hay que probar. Supongo que Rn es resto.

3)a)

+ a b c d e f
a a d a d e e
b d b b d e f
c a b c d e f
d d d d d e e
e e e e e e e
f e f f e e f

. a b c d e f
a a c c a a c
b c b c b b b
c c c c c c c
d a b c d d b
e a b c d e f
f a b c b f f

b) Es una red distributiva pero no llega a ser Algebra de Boole porque no es complementada (b no tiene complemento)

c)
e
/ \
f d
\/ \
b a
| /
c

4)a)


h=4

b) + + 6 / - 4 3 5 * 7 - 9 * 2 8

6 + ( ( 4-3) / 5) + 7 * ( 9 - (2 * 8) ) = - 214/5

5)
a) Falso, puede no haber primer elemento, ya que si hay mas de 1 deja de llamarse primer elemento y pasa a ser conjunto minimal. Los conjuntos con buen orden son los que tienen necesariamente primer elemento.
b) Traté de buscar un contraejemplo pero no encontré. Creo que es falso.
c) Falso, tiene ciclo de Euler porque contiene todas las aristas pero no son isomorfos.
d) Verdadero. Lo resolví con reglas de lógica. Se puede resolver de otra forma usando álgebra de Boole?

1)c)El subgrupo generado por <7> es el mismo grupo, luego el grupo cociente (asumo) que es el mismo grupo pero no estoy seguro.
2)a) viendo esto un poco no hay propiedad que ayude a resolverlo (creo yo, por lo menos no una que sepa)
asique estuve jugando un poco y encontre lo siguiente
si 2^n con n par > 0 luego 2^n es congruente a 4 modulo 12
si n impar >=3 luego 2^n es congruente a 8 modulo 12

Si vemos 2^2 es congruente a 4 modulo 12 luego 4^505 es congruente a 4 modulo 12 (4^n para todo n es congruente a 4 modulo 12)
finalmente 4^505.2 = 4.2 modulo 12

creo que la respuesta seria que 2^2011 es congruente a 8 modulo 12

Capaz habria que encontrar algo con las clases de Z12 Esto seria (Z12, . ) (?)
2)b) a=Ka.n +Ra y b=Kb+Rb (esto es la definicion de la division por n )
a-b = Kan+Ra - Kbn - Rb
a-b = n(Ka-Kb) + (Ra-Rb)
como a=b(n) es decir, kn=a-b luego Ra=Rb