Comparto el final que acabo de salir de rendir.

Éxitos para todos los que la estén preparando.

Gracias Saga por todos tus aportes con para la materia. Gracias a eso, y una linda semana de estudio, pude clavar un 8

Buenas!
Me saqué un 8 hoy así que quiero agradecerle a todos los que ayudan a resolver finales en esta página.
El final fue un regalo (nos dejaron llevarnos la copia)

Dejo los ejercicios planteados. Sé que la pifié en el T2, no tengo idea de si tengo algo más mal; si alguno tiene una corrección, joya.



T1)
Haciendo el límite de la función con (x,y)->(0,0), podés proponer y = mx. Reemplazando
\[lim \frac{mx^2}{x^2+2m^2x^2} = \frac{m}{1+2m^2}\]
por lo que no existe el límite, y la función es discontinua esencial en (0,0)



T2) Acá metí la pata diciendo que, en base a la SG, el polinomio de la ecuación diferencial tenía dos raíces distintas (eran iguales).
Lo que hice para resolverlo fue derivar la SG, con lo que queda \[y' - C1 - C2*e^x = 0\].
De la SG puedo sacar que \[C1 = (y-2-C2*e^2)/x\]
Vuelvo a derivar: \[y'' - \frac{y'*x-y}{x^2} + \frac{2}{x^2} - \frac{C2*e^x*x - C2*e^x}{x^2} = 0\]
De la primera derivada despejo C2, y reemplazo en la segunda. Supongo que se entiende la idea.



E1) Como \[y \geq x^2\], \[z \geq 0\] y \[y+z\leq 1\] puedo poner que \[x^2 + 0\leq 1 \rightarrow |x| \leq 1 \rightarrow -1 \leq x \leq 1\]
\[\delta (x,y,z) = Ky\]
Entonces
\[m = \int \int \int \delta (x,y,z)dx dy dz = K\int_{-1}^{1}dx\int_{x^2}^{1}y dy\int_{0}^{1-y}dz\]
Con lo que me terminó dando \[K*\frac{8}{35}\]. Tengo problemas de confianza con este.



E2) Los puntos críticos son (1,0) y (-1,0).
(1,0) es mínimo local
(-1,0) es máximo local



E3)
\[z = x^2 + 2y^2\rightarrow x^2+2y^2 = 4\]

\[x = rcos\Theta \]

\[y= (\frac{1}{2})^{1/2}rsen\Theta \]

\[J = (\frac{1}{2})^{1/2}r\]

\[rot f = (-1,-1,-1)\]
Me terminó dando \[-(\frac{1}{2})^{1/2}4\pi \]



E4)
\[y=x\]
\[x^2 + x^2 + 2z^2 = 2 \rightarrow x^2 + z^2 = 1\]
\[div f = 0\], por lo que el flujo que necesitamos es 0 - el flujo de la tapa, que da \[-\pi \]
Por lo tanto, el flujo pedido es \[\pi \].



De nuevo, muchísimas gracias a la gente que se puso a dar una mano en el foro.

E4) El último daba \[\Pi /4\]

\[f(y^2,z^2 + x^2 , x^2)\]

\[S: y=x\]

\[\int f . n ds =\iint \frac{f . \bigtriangledown F}{F'y}\]


\[\iint \frac{(x^2,z^2 +x^2,x^2) . (1,-1,0)}{\mid -1\mid }\]

\[\iint (x^2-z^2 -x^2) dz dx \]

\[- \iint z^2 dz dx\]

\[\left\{\begin{matrix}x= rcos\Theta & \\z= r sen\Theta & \end{matrix}\right.\]


\[\int_{\Theta = 0}^{2\Pi } \int_{r=0}^{1 } z^2 r dr d\Theta \]

\[\int_{\Theta =0}^{ 2\Pi } sen^2\Theta ( . \frac{1}{4})\]

Sabiendo que \[\int sen^2 x = \frac{1}{2} (x - senx cosx)\]

resolviendo la integral no queda \[\frac{1}{8} ((2\Pi - 0) - ( 0 - 0))\]


\[\int f.n.ds = \frac{\Pi }{4}\]


por lo menos me pusieron bien este ejercicio, pero ahora que lo veo bien no se que hice con el signo negativo del -z^2 , en fin algo mal habrè hecho recien

Che para el T2 te hiciste tremendo lío jaja, dejo como lo resolví:

\[1)\ y=2+C_{1}.x+C_{2}.e^{x}\]

Derivo una vez:

2) \[\ y'=C_{1}+C_{2}.e^{x}\]

Derivando otra vez:

\[3)\ y''=C_{2}.e^{x}\]

Reemplazo 3) en 2) y despejo C1:

\[ y'=C_{1}+y'' \]

\[ 4) \ C_{1}=y'-y'' \]

Reemplazando 4) y 3) en 1) obtenemos la ED pedida:

\[y=2+(y'-y'').x+y''\]

(23-02-2016 00:33)Santi Aguito escribió:  Che para el T2 te hiciste tremendo lío jaja, dejo como lo resolví:

\[1)\ y=2+C_{1}.x+C_{2}.e^{x}\]

Derivo una vez:

2) \[\ y'=C_{1}+C_{2}.e^{x}\]

Derivando otra vez:

\[3)\ y''=C_{2}.e^{x}\]

Reemplazo 3) en 2) y despejo C1:

\[ y'=C_{1}+y'' \]

\[ 4) \ C_{1}=y'-y'' \]

Reemplazando 4) y 3) en 1) obtenemos la ED pedida:

\[y=2+(y'-y'').x+y''\]

Yo lo hice asi y la mina que me corrigio me puso regular -.- cuando me quise acercar a preguntar porque estaba mal, le dije literalmente "profesora, disculpe le puedo hacer una consulta sobre este ejercicio"
Me miro con cara de culo y me dijo "mira que no te conviene reclamar eh que ya aprobaste, no esta permitido consultar ningún apunte o libro, guarda el celular para revisar el examen y pensa bien lo que vas a decir si me vas a discutir la corrección"
Ni pensaba reclamar, quería realmente saber porque estaba mal eso que hice (lo hice tal cual esta resolución que planteaste) creo que tenia ganas de bajarme puntos nomas, en fin

Felicitaciones a los que aprobaron también y gracias a los aportes y soluciones chicos n.n

Alguien podría subir el E2 paso por paso como lo resolvieron? yo hasta los puntos críticos llegué, pero después el Hessiano me queda siempre 0.
Gracias!

(23-02-2016 14:39)dante.gs escribió:  Alguien podría subir el E2 paso por paso como lo resolvieron? yo hasta los puntos críticos llegué, pero después el Hessiano me queda siempre 0.
Gracias!

Si no me equivoco:

\[f(x,y) = {x}^{3}+3{x}^{-1}+3x{y}^{2} \\\triangledown f(x,y) =(3{x}^{2}-3{x}^{-2}+3{y}^{2}, 6xy) \\ \]

Para los puntos criticos se buscan los puntos que anulen el gradiente, como dijeron antes son (1,0) y (-1,0)

Sabiendo que mis derivadas primeras son:
\[f_{x}^{'}=3{x}^{2}-3{x}^{-2}+3{y}^{2} \\f_{y}^{'}=6xy\]
Las derivadas segundas serian:

\[f_{xx}^{''}=6x+6{x}^{-3} \\f_{xy}^{''}=6y \\f_{yy}^{''}=6x \\f_{yx}^{''}=6y \\\]

Armando el Hessiano :

\[H=\begin{vmatrix}6x+6{x}^{-3} & 6y \\ 6y & 6x \end{vmatrix} =36{x}^{2}+36{x}^{-2}-36{y}^{2} \\ \]

Resulta en:
\[H(x;y) = 36{x}^{2}+36{x}^{-2}-36{y}^{2} \\H(1;0)=72 >0 ; f_{xx}^{''}=12 >0 \rightarrow Min local \\H(-1;0)=72 >0 ; f_{xx}^{''}=-12 < 0 \rightarrow Maxlocal\]

Verifica tus cuentas, tal vez reemplazaste mal en algún lado, espero haber sido de ayuda Si hay algún error avisen

Alguien puede subir la resolución entera del E3? No me esta dando el resultado

Para el E3)

\[x^2 +2y^2 = 4 \rightarrow r^2cos^2\Theta +2(\frac{1}{2}r^2sen^2\Theta) = 4 \rightarrow r=2\]

\[n = \frac{(0,0,1)}{1}\] (usando \[z=4\])

Te queda que

\[\oint f dg = \int \int (rot f * n ) dx dy = \int \int(-1,-1,-1)\frac{(0,0,1)}{1}dxdy\]

Entonces
\[-\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{2\pi}d\Theta \int_{0}^{2}rdr\]

El rotor lo sacaste?

El E1 me dio 8/35 tambien

El E3 me da distinto:

La curva intersección me queda: \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2}=1\]

Pasando a polares:
\[\left\{\begin{matrix}x =2\rho cos \phi\\ y =\sqrt{2}\rho sen \phi\\ J=2\sqrt{2}\rho\end{matrix}\right.\]

\[rot \bar{f} = (-1,-1,-1)\] y \[\bar{n}=(0,0,1)\]

\[\oint = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} -2\sqrt{2}\rho d\rho d\phi = -2\sqrt{2}\pi\]

el E1 sale =2.k/35?
el E3 me sale=-2.pi.2^1/2

(24-02-2016 12:32)diegodq53 escribió:  el E1 sale =2.k/35?
el E3 me sale=-2.pi.2^1/2

Yo me confundí en el rango de integración de la X y lo hice de 0 a 1 en el final.
pero esta bien de -1 a 1 y me daba tambien K* 8/35.

dejo el E1 (algunas veces los dioces de analisis2 nos dan un regalo)
   
el E3 lo hice de 3 maneras, creo q la primera esta mal pero no se por que; ese maldito signo no se de donde sacarlo
   

(24-02-2016 23:00)15406644 escribió:  dejo el E1 (algunas veces los dioces de analisis2 nos dan un regalo)

el E3 lo hice de 3 maneras, creo q la primera esta mal pero no se por que; ese maldito signo no se de donde sacarlo

Fijate que en el E1 , cuando estas integrando las Y, hiciste la integral de (Y^3)/3 como (Y^5)/3 y es (Y^6)/3 , las exponentes se multiplican.

Saludos!