Dejo el final de ayer de AM2



Y las respuestas del foro de AM2

Genial aporte!!!!

Sería buenísimo que Saga o Feer pasen por acá y lo resuelvan

Pasa que no hay mucho para resolver, cada vez mas simples los finales , no creo que los ejercicios ahi representen alguna dificultad, cualquier duda con alguno en particular....... ahora si Feer lo quiere resolver......

Hola, no tengo tiempo yaya, pero dejo mas o menos que se usa en cada uno y si cuando me libero nadie resolvió los hago...

T1) En el primero se usa la definición de trabajo de un campo vectorial, aplicando el teorema: Si\[\exists C/\oint_{C}\bar{f}d\bar{g}\neq 0\] Entonces no se trata de un campo de gradientes, entonces no existe función potencial, simpemente la curva a usar la busco con el denominador de cada componente del campo, se ve que es un elipse la curva queda algo así:

\[x = cos(t)\]
\[y = 4 sen(t)\]

\[G(t):[0;2\pi ]->R^{2}/G(t)=(cos(t);4sen(t))\]

Y se acabo se plantea la definición y va a dar distinto de 0...

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T2) Para el 2 sale muy fácil por la condición de: \[F(\bar{X},\breve{r})=\bar{\triangledown }f(\bar{X})\breve{r}\]

Solo hay que condicionar de que F sea diferenciable en \[\bar{A}\] que sería la regla práctica y de paso hacen la "validación" que les están exigiendo.

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E1)

Ahora lo veo...


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E2)
Es el punto más fácil entendiendo que el exámen no presenta dificultades...
Solo hay que saber:

\[\frac{dx}{P(x,y)}=\frac{dy}{Q(x,y)}\]

Entendiendo a \[F(x,y)=(P(x,y);Q(x,y))\]

Solo se reemplazan los datos y se resuelve una ecuación diferencial de variables separadas, les da la familia de lineas de campo con la constante de integración.

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E3) Bueno este sale con stokes, incluso ya les están diciendo: "el rotor es" osea... 0 para pensar la aplicación.
Para los limites de integración:

\[z=x^2+y^2\]
\[z=2x\]

Acá voy a usar para sacar los limites la igualdad de ecuaciones...\[x^2+y^2=2x\] en coordenadas polares: \[r^2=2rcos(\lambda )\]

Entonces como se que el r tiene que ser mayor que 0 quedaría: \[0<=r<=2cos(\lambda )\]

Y para el limite del ángulo: \[0<=2cos(\lambda )\] lo que me da: \[-\frac{\pi }{2}<=\lambda <=\frac{\pi }{2}\]

Y adentro lo que corresponda pero ya esta e ejercicio...

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E4)
Lo debo.

Dejo el punto 4

E1) (Algo es algo che )

\[0\leq y\leq 1-X^{2}\]

Ahí ya tenemos el límite de integración de Y. Ahora bien, si:

\[0\leq y\leq 1-X^{2}\]

Entonces:

\[0= 1-X^{2}\]

\[-1= -X^{2}\]

\[1= X^{2}\]

\[1=\left | X \right |\]

Por lo tanto los límites de X serán:

\[X=1\] y \[X=-1\]

Y por último, los límites de integración de Z quedán así:

\[Z\geq X\]

\[X+Z\leq 2\Rightarrow Z\leq 2-X\]

Finalmente nuestra integral queda de la siguiente manera:

\[\int_{X=-1}^{X=1}dx \cdot \int_{Z=X}^{Z=2-X}dz\cdot \int_{Y=0}^{Y=1-X^2}dy\]\[\frac{8}{3}\]

\[\int_{X=-1}^{X=1}(1-X^2)\cdot (2-2X)dx\]

\[\int_{X=-1}^{X=1}2-2X-2X^2+2X^3dx \Rightarrow 2X-X^2-\frac{2}{3}X^3+\frac{x^4}{2}\] (Entre 1 y -1)

Resolviendo da \[\frac{8}{3}\]

Me siento muy nabo preguntando esto pero en el E2 me queda esto:

\[dy=(y-x)dx\]

¿Cómo lo sigo?

Y por último, en el E3 entiendo los límites de integración y según veo la superficie sería la siguiente:

\[(X-1)^2+Y^2=1\]

¿Cómo me queda la integral para calcularla?

Holas, puede ser que el E2 sea Y=e^x +x+1 la solucion? porq la que muestran ahi no comprueba la ecuacion diferencial Y' -Y=-X

http://www.wolframalpha.com/input/?i=dx%...F%28y-x%29

Si esta mal en la resolución ahora lo intento hacer y aviso en el grupo!

(04-12-2012 20:20)nikolay escribió:  Y por último, en el E3 entiendo los límites de integración y según veo la superficie sería la siguiente:

\[(X-1)^2+Y^2=1\]

¿Cómo me queda la integral para calcularla?

como hiciste una traslacion del origen al centro de la circunferencia, deberas tomar coordenadas polares de la siguiente manera

\[g:R^2\to R^2/g(r,\theta)=(1+r\cos\theta,r\sin\theta)\quad D_g=r\]

de donde la integral evaluada en estas coordenadas es

\[\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}2(1+r\cos\theta)r drd\theta=2\pi\]

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Otra alternativa a la perfecta resolucion de caro es definir las superficies dadas como

\[\left\{\begin{matrix}f(x,y,z)=x^2+3-z-3y\\\\ g(x,y,z)=y+xz-x^2-1\end{matrix}\]

calcular el gradiente de cada una y despues hacer el producto vectorial entre ambos, eso no da el director de la recta que sera tangente a la curva que definen las dos superfices,

ese mismo director define la normal del plano "normal" a la curva, teniendo la normal y un punto.....algébra

\[\pi: 2x+y+z=4\]

si parametrizamos como

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,4-y-2x)\]

el modulo de su normal sera \[\sqrt{6}\] por definicion

\[A=\iint ||g'_x\times g'_y|| dydx=\iint \sqrt{6}dxdy\]

para definir los limites, solo se pone la parametrizacion elegida en funcion de estos, como esta en el primer octante

\[z>0\to 4-y-2x>0\]

si despejo y obtengo \[\boxed{0<y<4-2x}\]

por transitividad

\[0<4-2x\to \boxed{0<x<2}\]

finalmente

\[A=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-2x}\sqrt{6}dxdy=4\sqrt{6}\]

Alguien podría resolver el E3 por favor, me quedo antes de la integral. Gracias.

Les aviso que a mí, el E2 me da lo mismo que a Polipode (verifica la ec. diferencial), lo revisé 1000 veces y no tengo dudas

(05-12-2012 04:05)Polipode escribió:  Alguien podría resolver el E3 por favor, me quedo antes de la integral. Gracias.

Los limites estan en la primera imagen,

me gusta mas tu forma saga.. por que la mía hay que revisar y cuidarse de no pifearle a ninguna derivada Es muy álgebra jajaja

Saga, una consulta: No entiendo cómo llegaste a la última integral del E3. ¿Podrías explicármelo?

(05-12-2012 11:21)diegomsaiz escribió:  Saga, una consulta: No entiendo cómo llegaste a la última integral del E3. ¿Podrías explicármelo?

Los limites de la integral dependen si tomaste o no el centro del cilindro como referencia, hechos los calculos se llega a

\[\omega=\int_Cfds=\iint_R rot(f)n dA=\iint_R 2x dxdy\]

la region es

\[x^2+y^2=2x\]

1) Si no tomas como centro de referencia el centro del cilindro, R queda asi, NO se completa cuadrados, entonces mis coordanas polares son en función al origen

\[g:R^2\to R^2/g(r\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta) \quad D_g=r\]

los limites en estas coordenadas elegidas estan en el mensaje #3 de fir, la integral sera

\[\omega=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos\theta}2r^2\cos\theta drd\theta=2\pi\]

2) si queres como centro de referencia el centro del cilindro entonces completas cuadrados en R y obtenes

\[R: (x-1)^2+y^2=1\]

las coordenadas polares en esta region son en funcion a este centro

\[g:R^2\to R^2/g(r,\theta)=(1+r\cos\theta,r\sin\theta) \quad D_g=r\]

el integrando en estas coordenadas sera

\[\omega=\iint 2(1+r\cos\theta)rdrd\theta\]

como tomaste centro de referencia el centro del cilindro, entonces los limites son lo que expuse en mi mensaje anterior, ¿se entiende?, cualquier duda......

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(05-12-2012 10:27)CarooLina escribió:  me gusta mas tu forma saga.. por que la mía hay que revisar y cuidarse de no pifearle a ninguna derivada Es muy álgebra jajaja

Esta buena tu resolución ademas, pero como decis donde le pifias alguna derivada...... con eso se demuestra que un camino u otro (siempre y cuando esten bien aplicados los conceptos) se debe llegar al mismo resultado, la forma que expuse por lo general se usa cuando no podes parametrizar la curva como vos lo hiciste, en ese caso no te queda otra que hacerlo con los gradientes y todo lo expuesto anteriormente.

Mil gracias por la aclarción Saga! Me quedó bastante más claro este tema, solo hace falta práctica ahora

Por cierto, ¿ Alguien tiene la resolución detallada del E2? Se me mezcla la "Y" con el "dx" y de ahí no puedo seguir...