correccion, en el E3 donde dice \[z+x^2+y^2\geq 2\] debe decir \[z+x^2+y^2\leq 2\]

E1) con los valores de x e y dados podemos calcular el valor de u, evaluando dichos puntos en la ecuacion implicita dada, obtenemos que \[u=2\]

luego por Couchy Dini o asociando a esa funcion el gradiente de la misma, haciendo las cuentitas, obtenemos que

\[u(x,y)=f(x,y)=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y\]

sabemos que \[h(x,y)=w=xu^2\to h(1,3)=4\], para calcular las derivadas de h, defino el arbol de correspondencia



\[\frac{dh}{dx}=\frac{dw}{dx}+\frac{dw}{du}\frac{du}{dx}=u^2-2u\frac{2}{3}_{u=2}=\frac{4}{3}\]

\[\frac{dh}{dy}=\frac{dw}{du}\frac{du}{dy}=2ux\frac{1}{3}_{u=2,x=1}=\frac{4}{3}\]

luego

\[h(x,y)\approx 4+\frac{4}{3}(x-1)+\frac{4}{3}(y-3)\]

finalmente

\[\boxed{h(0,98;3,01)\approx 3.9866}\]

---

E2) utlizamos la definicion directamente, para ello necesitamos parametrizar la curva dada, sin tomar como centro del cilindro el (1,0) una posible parametrizacion será

\[g:R\to R^3/g(t)=(2\cos^2t,\sin(2t),9-\sin^2(2t))\quad t\in\left [ \frac{\pi}{2},0 \right ]\]

luego

\[g'(t)=(-2\sin(2t),2\cos(2t),-2\sin(4t))\]

por definicion

\[\omega=\int_C fds=\int_{a}^{b}f(g(t))\cdot g'(t)dt\]

hechos las cuentas y reemplazos correspondientes, dando vuelta los limites de integración

\[\\-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-4\cos^2t\sin(2t)-2\sin^2(2t)+2\sin(2t)\cos(2t)-\sin^2(2t)\sin(4t)dt=\boxed{2+\frac{\pi}{2}}\]

verifiquenlo con wolfram

otra posible parametrizacion, si tomamos como centro del cilindro el (1,0) es

\[g:R\to R^3/g(t)=(\cos t+1,\sin t,9-\sin^2(t))\quad t\in\left [0,\pi ]\]

hay que derivar y hacer las demas cuentas

---

E3) de las condiciones dadas deducimos que

\[\sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 2-(x^2+y^2)\]

tomando cilindricas

\[r\leq z\leq 2-r^2\to r\in[0,1]\quad \theta\in [0,2\pi]\]

luego

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r}^{2-r^2}rdzdrd\theta=\boxed{\frac{5}{6}\pi}\]

verifiquenlo con wolfram

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E4) Dado un campo vectorial

\[f(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\] para que admita funcion potencial, por la condicion necesaria

\[\frac{dP}{dy}=\frac{dQ}{dx}\to 2g(x)=g(x)+xg'(x)\]

si cambio

\[g(x)=y\to 2y=y+xy'\]

resolviendo

\[y=g(x)=Mx\]

de los datos del enunciado sabemos que

\[f(1,2)=(4(g(1),g(1))=(8,2)\to g(1)=2\]

luego \[g(1)=M=2\]

finalmente

\[\boxed{g(x)=2x}\]

El solo trabajo de pasar todo a latex merece un gracias

jajaj no es tan complicado jeje ... igual gracias por las gracias brich

Es una boludes...pero da una paja inmensa.

Saga tengo dudas con el 1º teórico; yo saco las direcciones (U,V) para las cuales las derivadas direccionales son nulas con la condición U^2+V^2 = 1 y sacando el gradiente de f (x,y); ahora, ¿cómo verifico que los resultados hallados corresponden a la curva de nivel 4?.

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gracias x adelantado

¿T2 se justifica diciendo que el Teorema de Stokes requiere una S abierta, no cerrada, como el teorema de Gauss?

Graciass

(22-05-2013 11:17)Saga escribió:  E1)
luego por Couchy Dini o asociando a esa funcion el gradiente de la misma, haciendo las cuentitas, obtenemos que

\[u(x,y)=f(x,y)=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y\]

Hola, por qué haces Cauchy-Dini y cómo llegaste a tal función?
Te pregunto porque lo resolví dejando esa función en nivel 0 y la aproximación me da 3,72.

Gracias!

(22-05-2013 11:17)Saga escribió:  

correccion, en el E3 donde dice \[z+x^2+y^2\geq 2\] debe decir \[z+x^2+y^2\leq 2\]

E2)

otra posible parametrizacion, si tomamos como centro del cilindro el (1,0) es

\[g:R\to R^3/g(t)=(\cos t+1,\sin t,9-\sin^2(t))\quad t\in\left [0,\pi ]\]

hay que derivar y hacer las demas cuentas

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Nadie con ganas de seguirlo a partir de esta parametrizacion?
No entiendo bien la otra y haciéndolo con esta no me da y no se que estoy haciendo mal

A mi me da igual que en la respuesta que deje julita, revisa las derivadas o el producto escalar, acordate que hay que poner un signo menos adelante de la integral para dar vuelta los limites de integracion o sea

ese el intevalo de integracion realmente es (pi,0) yo lo deje de (0,pi) pero considerando un menos delante de la integral para darlos vuelta, me explico ??

ahi te lo dejo con wolfram

Hola che, mira yo hice el E4 y me da diferente, hice:
f(x,y)= (2yg(x) , xg(x))
de los datos obtengo que g(1)= 2
después planteo P’y = Q’x (condición necesaria para la existencia de función potencial)
me queda 2g(x) =g’(x)
cambio g(x)=y para que quede expresado mas sencillo, entonces tengo:
2y=y’
2y= dy/dx
2dx=dy/y
integro en ambos lado y me queda:
2x=ln|ky|
despejando y y considerando que la constante puede ser negativa o positiva me queda:

SG: y=A(e^2x)

volviendo a la notación original
g(x)=A(e^2x)
como g(1)= 2
me queda que A=2e^-2

y reemplazando en la SG me queda la SP:

g(x)=2e^x

pero a vos te dio distinto, y no se porque! un saludo, y espero me corrijan si hice algo mal! saludos

(23-02-2014 21:56)FabiPr escribió:  Hola che, mira yo hice el E4 y me da diferente, hice:
f(x,y)= (2yg(x) , xg(x))
de los datos obtengo que g(1)= 2
después planteo P’y = Q’x (condición necesaria para la existencia de función potencial

me queda 2g(x) =g’(x)

vos tenes Q=x.g(x) , derivaste mal.. tenias que usar regla del producto, otro detalle, ponele hayas derivado bien, la g(x) que propones tampoco verifica tu ecuacion diferencial 2g(x)=g'(x) asi que algo mal debes tener en

el camino, pero como te dije ya habias derivado mal Q'_x

Llamado a la generosidad si alguien por favor me puede explicar lo más claro posible por qué los límites de integración del radio quedan \[0\leqslant r \leqslant 1\]

El enunciado nos dice: \[z\geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}} \] y \[z+x^{2}+y^{2}\geqslant 2\] que despejando z nos queda \[z\geqslant 2-x^{2}-y^{2}\] O sea que en ningún lado tengo el dato de \[z\leqslant algo\], las dos inecuaciones que me dan me dicen a que es mayor Z (el piso) pero ninguna me dice a que es menor (el techo).
Despejando de la primera me queda \[z\geqslant r \] y reemplazando en la 2da me queda \[r^{2}+r-2\geqslant 0\] de lo que yo obtengo que \[-2\leqslant r\leqslant 1\] pero en la resolución de Saga figura \[0\leqslant r\leqslant 1\]

A mi la integral triple me quedaría de la siguiente manera
\[\int_{\theta =0}^{2\pi }\int_{r=-2}^{1}\int_{z=0}^{r^{2}+r-2}rd\theta dr\]

Ayuda por favor!

Otra consulta de yapa para quien sepa y pueda responder: se puede resolverse el E2) utilizando el Teorema del Rotor (Stokes)? Yo lo encaré primero con Rotor pero en lugar de darme \[2+\frac{\pi }{2}\] me dio solamente \[\frac{\pi }{2}\]. En caso de que con Rotor no sea posible, cual es la justificación?

Desde ya muchas gracias, saludos!!

(19-05-2014 23:46)DarkCrazy escribió:  Llamado a la generosidad si alguien por favor me puede explicar lo más claro posible por qué los límites de integración del radio quedan \[0\leqslant r \leqslant 1\]

El enunciado nos dice: \[z\geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}} \] y \[z+x^{2}+y^{2}\geqslant 2\] que despejando z nos queda \[z\geqslant 2-x^{2}-y^{2}\] O sea que en ningún lado tengo el dato de \[z\leqslant algo\], las dos inecuaciones que me dan me dicen a que es mayor Z (el piso) pero ninguna me dice a que es menor (el techo).

estem .... si dibujas las superficies en cuestion veras que el techo y piso son las funciones que puse en la resolucion.. igualmente si las graficas en cilindricas, es sencillo observar que el grafico es un paraboloide con las ramas hacia abajo con vertice en (0,0,2) y un cono y con eso sacas la funcion "techo" y la funcion "piso", otra cosa fijate que hay una correccion al pie del examen

Cita:.... reemplazando en la 2da me queda \[r^{2}+r-2\geqslant 0\] de lo que yo obtengo que \[-2\leqslant r\leqslant 1\]

llegas a poner eso en el final o parcial y el profesor hace y te ganaste un hermoso patito , por definicion el radio va de 0 a +infinito , jamas vas a tener un r negativo

Cita:se puede resolverse el E2) utilizando el Teorema del Rotor (Stokes)?....En caso de que con Rotor no sea posible, cual es la justificación?

como poder se puede el tema es que con los puntos en los que te pide que calcules la circulacion , la curva no es cerrada, para poder aplicar rotor tenes que definir las curvas auxiliares para cerrarla, y despues recien aplicar rotor , algo parecido a lo que seguramente hiciste cuando viste el teorema de la divergencia , el concepto en el rotor es analogo , solo que trabajas con curvas, no superficies. Lo entendes ?

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PD: disculpen a los que preguntaron antes, no vi el post sino hasta ahora, chiflen cuando tengan dudas de algo que hice o no les cierre algun procedimiento, a veces no entro al foro y cuando lo hago las preguntas que se pueden haber hecho ya quedaron mas "abajo" por los nuevos mensajes que siempre aparecen

Muchas gracias por tu respuesta! Me sigue quedando una duda. Cuál es el cálculo analítico para obtener que r va de 0 a 1? Porque mi procedimiento me dio de -2 a 1. Descarto la parte negativa del radio y chau? O hay otra explicación?

Esta bien como hiciste el calculo, y asi de simple como decis, si te da un r negativo solo te quedas con la parte positiva y descartas sin mas la negativa, eso por la misma definicion que cite antes