Dejo el final tomado.

No tengo la resolución en papel pero dejo por arriba como se resolvía, perdón si es confuso. Si alguien tiene la resolución, sería buenísimo.

T1-Obtenés la derivada de la función dada y reemplazas y e y' en la EDO. Con eso despejás a. De ahí es una EDO orden 1 y se obtiene la general con y' +P(x)y = Q(x) o debería salir también usando Homogénea+Particular.
T2-Al definir tenes que decir que las coordenadas son distancia del punto al 0,0 y el ángulo entre OP y el eje x. La integral es una semicircunferencia con centro en (2,0), eso se saca completando cuadrados en el límite superior de y. Después sale fácil con polares.
E1-Integral de volumen de la función densidad. Los límites son dos paraboloides que abren para z+, igualás ambos y salen los límites. Sale usando cilíndricas.
E2- Es una composición de funciones fog. Necesitas gradiente de h en el punto para hacer aproximación lineal. Gradiente de h es igual a producto de gradiente de F y la matriz jacobiana de g, por derivada de composición de funciones.
El gradiente de F se obtiene usando propiedad del gradiente y los datos de las derivadas direccionales que nos dan, el de g lo sacás derivando.
E3- Como no tenes g y g depende de yz en la parte x del campo, claramente tenés que volarla usando teorema de Gauss. Usas z=1 como superficie tapa y orientando hacia z-. El flujo total lo obtenés por Gauss y le restás el flujo a través de z=1.
E4- Esta circulación es facilona, se saca la ecuación de la recta usando el gradiente de la superficie, ahi ya tenés la parametrización, igualás con el plano xz y ya tenes los dos límites. Hacés integral de línea.

gracias... veo si la hago ahora que tengo algo de tiempo...