Les adjunto el final con su respectiva resolución de la parte practica , los teoricos no estan complicados , de hecho se tomaron en anteriores finales



E) por definicion

\[\varphi=\iint_R f\cdot n dA\]

donde n sera igual al producto vectorial de los vectores elementales de una funcion g la cual la defino de forma vectorial como

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,\sqrt{20-x^2-5y^2})\]

\[n=g'_x\times g'_y=\left ( \frac{x}{\sqrt{20-x^2-5y^2}},\frac{5y}{\sqrt{20-x^2-5y^2}},1 \right )\]

n tiene orientacion positiva, luego el producto escalar de f n es igual a

\[f\cdot n=5xy+5xy+xy=11xy\]

\[\varphi=\iint_R 11xy dA\]

de la restriccion \[z\geq 2x\] obtenemos \[x^2+y^2\leq 4\] finalmente tomando polares sobre R

\[\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}11 r^3\cos \theta\sin\theta drd\theta=22\]

---

E2) sale por el teorema de green , se cumplen sus hipotesis luego

\[\\Q'_x=2y+\theta(xy)+x\theta'(xy)y\\\\ P'_y=\theta(xy)+y\theta'(xy)x\]

\[Q'_x-P'_y=2y\]

\[\omega=\iint_R 2y dA\]

los limites

\[x^2\leq y\leq \sqrt{2-x^2}\]

por transitividad

\[x^2\leq \sqrt{2-x^2}\]

inecuacion que se puede expresar como \[(x^2-1)(x^2+2)\leq 0\] desigualdad que se cumple cuando \[x^2-1\leq 0\to |x|\leq 1\]

finalmente

\[\omega=\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}2ydydx=\frac{22}{15}\]

---

E3) Hay que determinar cuanto es el valor de z para ello utilizamos el punto (2,2) y lo evaluamos en la ecuacion dada, a ojimetro se obtiene que z=3 entonces tengo el punto \[A=(2,2,3)\]

como nos piden aproximar el punto (2,02 ; 1,98) debemos hallar el plano tangente a F, entonces defino

\[F(x,y,z)=x+2yz+ln(z-y)-14\]

ahora hay que calcular el gradiente de F y evaluarlo en A para obtener el normal del plano buscado

\[\nabla F(2,2,3)=(1,5,5)\]

con algo de algebra el plano es de ecuacion \[x+5y+5z-27=0\] despejando z ya que el enunciado nos dice que \[z=f(x,y)\] obtengo

\[z=f(x,y)=\frac{27}{5}-\frac{1}{5}x-y\]

finalmente

\[f(2,02; 1,98)\approx 3,016\]

---

E4)

haciendo \[f(1,1)=(2g(1),g(1))=(4,2)\] de donde obtenemos que la condicion inicial es \[g(1)=2\]

como f es clase 1 y admite funcion potencial entonces su matriz jacobiana es simetrica de donde hechas las cuentas se obtiene

\[g(x)+xg'(x)=2g(x)\]

resolviendo la ecuacion diferencial

\[\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}\to y=Ax\]

utilizando la condicion inicial la g que verifica la existencia de una funcion potencial es \[g(x)=2x\]

para hallar la circulacion puedo hacerlo hallando la funcion potencial , o utilizando la defincion de circulacion , elijo la primera , por definicion

\[\nabla\phi(x,y)= f(x,y)\]

entonces

\[\frac{\phi(x,y)}{dx}=4xy\quad \frac{\phi(x,y)}{dy}=2x^2\]

integrando , la funcion potencial pedida es

\[\phi(x,y)=2x^2y+K\]

luego

\[\omega=\phi(B)-\phi(A)=24\]

(02-10-2014 03:30)Saga escribió:  Les adjunto el final con su respectiva resolución de la parte practica , los teoricos no estan complicados , de hecho se tomaron en anteriores finales



E) por definicion

\[\varphi=\iint_R f\cdot n dA\]

donde n sera igual al producto vectorial de los vectores elementales de una funcion g la cual la defino de forma vectorial como

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,\sqrt{20-x^2-5y^2})\]

\[n=g'_x\times g'_y=\left ( \frac{x}{\sqrt{20-x^2-5y^2}},\frac{5y}{\sqrt{20-x^2-5y^2}},1 \right )\]

n tiene orientacion positiva, luego el producto escalar de f n es igual a

\[f\cdot n=5xy+5xy+xy=11xy\]

\[\varphi=\iint_R 11xy dA\]

de la restriccion \[z\geq 2x\] obtenemos \[x^2+y^2\leq 4\] finalmente tomando polares sobre R

\[\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}11 r^3\cos \theta\sin\theta drd\theta=22\]

---

E2) sale por el teorema de green , se cumplen sus hipotesis luego

\[\\Q'_x=2y+\theta(xy)+x\theta'(xy)y\\\\ P'_y=\theta(xy)+y\theta'(xy)y\]

\[Q'_x-P'_y=2y\]

\[\omega=\iint_R 2y dA\]

los limites

\[x^2\leq y\leq \sqrt{2-x^2}\]

por transitividad

\[x^2\leq \sqrt{2-x^2}\]

inecuacion que se puede expresar como \[(x^2-1)(x^2+2)\leq 0\] desigualdad que se cumple cuando \[x^2-1\leq 0\to |x|\leq 1\]

finalmente

\[\omega=\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}2ydydx=\frac{22}{15}\]

---

E3) Hay que determinar cuanto es el valor de z para ello utilizamos el punto (2,2) y lo evaluamos en la ecuacion dada, a ojimetro se obtiene que z=3 entonces tengo el punto \[A=(2,2,3)\]

como nos piden aproximar el punto (2,02 ; 1,98) debemos hallar el plano tangente a F, entonces defino

\[F(x,y,z)=x+2yz+ln(z-y)-14\]

ahora hay que calcular el gradiente de F y evaluarlo en A para obtener el normal del plano buscado

\[\nabla F(2,2,3)=(1,5,5)\]

con algo de algebra el plano es de ecuacion \[x+5y+5z-27=0\] despejando z ya que el enunciado nos dice que \[z=f(x,y)\] obtengo

\[z=f(x,y)=\frac{27}{5}-\frac{1}{5}x-y\]

finalmente

\[f(2,02; 1,98)\approx 3,016\]

---

E4)

haciendo \[f(1,1)=(2g(1),g(1))=(4,2)\] de donde obtenemos que la condicion inicial es \[g(1)=2\]

como f es clase 1 y admite funcion potencial entonces su matriz jacobiana es simetrica de donde hechas las cuentas se obtiene

\[g(x)+xg'(x)=2g(x)\]

resolviendo la ecuacion diferencial

\[\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}\to y=Ax\]

utilizando la condicion inicial la g que verifica la existencia de una funcion potencial es \[g(x)=2x\]

para hallar la circulacion puedo hacerlo hallando la funcion potencial , o utilizando la defincion de circulacion , elijo la primera , por definicion

\[\nabla\phi(x,y)= f(x,y)\]

entonces

\[\frac{\phi(x,y)}{dx}=4xy\quad \frac{\phi(x,y)}{dy}=2x^2\]

integrando , la funcion potencial pedida es

\[\phi(x,y)=2x^2y+K\]

luego

\[\omega=\phi(B)-\phi(A)=24\]

hola, ¿como se justificaba el T2?

(02-10-2014 12:02)luisitotuvieja22 escribió:  

(02-10-2014 03:30)Saga escribió:  Les adjunto el final con su respectiva resolución de la parte practica , los teoricos no estan complicados , de hecho se tomaron en anteriores finales



E) por definicion

\[\varphi=\iint_R f\cdot n dA\]

donde n sera igual al producto vectorial de los vectores elementales de una funcion g la cual la defino de forma vectorial como

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,\sqrt{20-x^2-5y^2})\]

\[n=g'_x\times g'_y=\left ( \frac{x}{\sqrt{20-x^2-5y^2}},\frac{5y}{\sqrt{20-x^2-5y^2}},1 \right )\]

n tiene orientacion positiva, luego el producto escalar de f n es igual a

\[f\cdot n=5xy+5xy+xy=11xy\]

\[\varphi=\iint_R 11xy dA\]

de la restriccion \[z\geq 2x\] obtenemos \[x^2+y^2\leq 4\] finalmente tomando polares sobre R

\[\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}11 r^3\cos \theta\sin\theta drd\theta=22\]

---

E2) sale por el teorema de green , se cumplen sus hipotesis luego

\[\\Q'_x=2y+\theta(xy)+x\theta'(xy)y\\\\ P'_y=\theta(xy)+y\theta'(xy)y\]

\[Q'_x-P'_y=2y\]

\[\omega=\iint_R 2y dA\]

los limites

\[x^2\leq y\leq \sqrt{2-x^2}\]

por transitividad

\[x^2\leq \sqrt{2-x^2}\]

inecuacion que se puede expresar como \[(x^2-1)(x^2+2)\leq 0\] desigualdad que se cumple cuando \[x^2-1\leq 0\to |x|\leq 1\]

finalmente

\[\omega=\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}2ydydx=\frac{22}{15}\]

---

E3) Hay que determinar cuanto es el valor de z para ello utilizamos el punto (2,2) y lo evaluamos en la ecuacion dada, a ojimetro se obtiene que z=3 entonces tengo el punto \[A=(2,2,3)\]

como nos piden aproximar el punto (2,02 ; 1,98) debemos hallar el plano tangente a F, entonces defino

\[F(x,y,z)=x+2yz+ln(z-y)-14\]

ahora hay que calcular el gradiente de F y evaluarlo en A para obtener el normal del plano buscado

\[\nabla F(2,2,3)=(1,5,5)\]

con algo de algebra el plano es de ecuacion \[x+5y+5z-27=0\] despejando z ya que el enunciado nos dice que \[z=f(x,y)\] obtengo

\[z=f(x,y)=\frac{27}{5}-\frac{1}{5}x-y\]

finalmente

\[f(2,02; 1,98)\approx 3,016\]

---

E4)

haciendo \[f(1,1)=(2g(1),g(1))=(4,2)\] de donde obtenemos que la condicion inicial es \[g(1)=2\]

como f es clase 1 y admite funcion potencial entonces su matriz jacobiana es simetrica de donde hechas las cuentas se obtiene

\[g(x)+xg'(x)=2g(x)\]

resolviendo la ecuacion diferencial

\[\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}\to y=Ax\]

utilizando la condicion inicial la g que verifica la existencia de una funcion potencial es \[g(x)=2x\]

para hallar la circulacion puedo hacerlo hallando la funcion potencial , o utilizando la defincion de circulacion , elijo la primera , por definicion

\[\nabla\phi(x,y)= f(x,y)\]

entonces

\[\frac{\phi(x,y)}{dx}=4xy\quad \frac{\phi(x,y)}{dy}=2x^2\]

integrando , la funcion potencial pedida es

\[\phi(x,y)=2x^2y+K\]

luego

\[\omega=\phi(B)-\phi(A)=24\]

hola, ¿como se justificaba el T2?

Me di cuenta cuando sali, que la frontera era la derivada ... ajja y ahi es muy simple. (por suerte aprobe igual)
Si la curva a la que hay que sacarle circulacion es la derivada primera de D, para obtener el rotor hay que volver a integrar, y te quedan las restas de las derivadas cruzadas que por teorema de Schwarz son iguales, entonces el rotor quedaba 0.
En cuanto sali del curso me avive.

o sea que quedaba la divergencia del rotor? algo como esto?


https://www.youtube.com/watch?v=TFYbnXO8IQI

(02-10-2014 12:50)luisitotuvieja22 escribió:  o sea que quedaba la divergencia del rotor? algo como esto?


https://www.youtube.com/watch?v=TFYbnXO8IQI

El rotor directamente te quedaba 0, ya esta. Ahi lo demostraste. No se usaba la divergencia en la demostracion.

gracias, lo que pasa es que a veces la simbologia me confunde... saludos...
ya fue, para la próxima me estudio bien la divergencia del rotor y el rotor de un gradiente, ambos dan NULL...

Por favor, alguien me podria explicar en más detalle el E4? Me pierdo en la parte del jacobiano.
Adicionalmente, alguien tiene algun apunte para recomendar de donde estudiar lo de funcion potencial?
Gracias chicos

(22-11-2014 19:27)Tucan escribió:  Por favor, alguien me podria explicar en más detalle el E4? Me pierdo en la parte del jacobiano.

la matriz jacobiana en R3 asociada a un campo \[f(x,y,z)=(P,Q,R)\] se define como

\[J(x,y,z) = \begin{bmatrix}{P^{\prime}_{x}}&{P^{\prime}_{y}}&{P^{\prime}_{z}}\\{Q^{\prime}_{x}}&{Q^{\prime}_{y}}&{Q^{\prime}_{z}}\\{R^{\prime}_{x}}&{R^{\prime}_{y}}&{R^{\prime}_{z}}\end{bmatrix}\]

en R2 , dado el campo \[f(x,y)=(P,Q)\] el jacobiano se define

\[J(x,y,z) = \begin{bmatrix}{P^{\prime}_{x}}&{P^{\prime}_{y}}\\{Q^{\prime}_{x}}&{Q^{\prime}_{y}}\end{bmatrix}\]

para f admita funcion potencial el jacobiano debe ser simetrico , por ende

\[Q'_x=P'_y\]

que es lo que aplique para el ejercicio

Cita:Adicionalmente, alguien tiene algun apunte para recomendar de donde estudiar lo de funcion potencial?

los flax te pueden servir , me parece que tienen bastante sobre este tema

Una cosulta con respecto al T1...

Al calcular el determinante del Hessiano, me da 0.
Por lo que no puedo decir si hay extremo o no.

Alguien sabe como proseguir en este caso?


Muchas gracias!!!
Juan Pablo

Aplicas la definicion directamente .. observa que en un entorno del (0,0)

\[f(0,0)=4\leq f(x,y)\]

con eso sabes que f presenta un minimo , y al tener potencias pares para todo x que este en el dominio de f , f(x,y) siempre sera positiva por ende f(0,0) presenta minimo local y ademas global

Ahhh, perfecto! Ya entendí!

Muchas gracias, Saga!

Hola!! estaba intentando resolver el T2 pero la verdad no lo entiendo y la respuesta que dan tampoco, osea que tiene que ver la superficie con el rotor?? La unica manera que la integral me de cero es que el campo vectorial f tengo la matriz jacobiana simetrica entonces rot(f)=0(vector nulo)

Si alguien puede explicar un poco mas se lo agradeceria... Saludos

(02-10-2014 12:59)lucasgcaro escribió:  

(02-10-2014 12:50)luisitotuvieja22 escribió:  o sea que quedaba la divergencia del rotor? algo como esto?


https://www.youtube.com/watch?v=TFYbnXO8IQI

El rotor directamente te quedaba 0, ya esta. Ahi lo demostraste. No se usaba la divergencia en la demostracion.

Hola lucasgcaro!

Una consulta, el video hace la divergencia del rotor de f: div( rot (f) ).
Es decir, utiliza la divergencia en la demostración.

\[div ( rot (f) ) = R''_y_x - Q''_z_x + P''_z_y - R''_x_y + Q''_x_z - P''_y_z = 0\]

Por el Teorema de Schwarz de las derivadas cruzadas, se cancelan todos los elementos con derivadas cruzadas.
Por ende, da 0. Pero es la divergencia del rotor. Y no el rotor el que da 0.

Cómo es que se llega a que el rotor directamente sea 0?
Por otro lado, \[\delta D\] que sería, el gradiente del cuerpo D?


Muchas gracias,
Juan Pablo

Buen día! alguien me podría explicar la demostración del T2? La verdad que no encuentro la relación entre el rotor y el teorema de la divergencia, yo tambien pensaba que se demostraba como en el video, pero leí en los comentarios que no es así como debe resolverse

Saga, una consulta con el E3)

No se puede en este caso, luego de averiguar z=3, utilizar la fórmula de aproximación por el diferencial?
Yo lo hice de esa manera pero me termina dando -4/5.