les dejo el final que se tomo en la ultima fecha con mi resolucion, se aceptan criticas

   

T1) el resultado de la integral dada en cartesianas es pi/4 la región corresponde con las ecuaciones

\[R=\left \{ x\in R^2/ y\leq x\quad x^2+y^2\leq 2 \right \}\]

en polares

\[A=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\sqrt{2}}r drd\theta=\frac{\pi}{4}\]

---

T2) bla bla bla... componemos la funcion F para despues aplicar la definicion de derivada direccional , gradiente por versor porque la composicion hace que F sea diferenciable

\[F(g(x,y))=f(|x|,xy)\]

resulta entonces

\[F(x,y)=x^2+xy\]

de donde

\[\nabla F(0,1)=(1,0)\]

por definicion de derivada direccional

\[F'(0,1)=\nabla F(0,1)\cdot \hat r=(1,0).(0,4;0,6)=0,4\]

---

E1) de la parametrizacion sobre la superficie defino la funcion vectorial g

\[g:R^3\to R^2 /g(x,z)=(x,2-\sqrt{x^2+z^2},z)\]

por definicion

\[A=\iint_R ||g'_x\times g'_z ||dA\]

haciendo el producto vectorial

\[||g'_x\times g'_z ||=\sqrt{2}\]

la region R se define como

\[R:\left \{ x\in R^2 /x^2+z^2\leq 4 \right \}\]

sin pensar mucho

\[A=\sqrt{2}\iint_R dA=\sqrt{2}\dfrac{\pi R^2}{4}=\sqrt{2}\pi\]

---

E2) por definicion

\[M=\iiint \delta (x,y,z) dV\]

de donde

\[\delta (x,y,z)=k\sqrt{x^2+y^2}\]

para hallar el volumen utilizo una integral doble

\[M=\iint_{R}\left (\int_{0}^{y+4}k\sqrt{x^2+y^2}dz \right )dydx=k\iint_{R}\sqrt{x^2+y^2}(y+4) \right )dydx\]

R se define como

\[R=\left \{ x\in R^2 /x^2+y^2\leq 4 \right \}\]

tomando polares sobre R

\[M=k\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}r^3\sin\theta+4r^2drd\theta=\left ( 4+\frac{16\pi}{3} \right )k\]

---

E3)

a) por definicion

\[\nabla f=0\to 2x(y+1)=0\quad x^2+2y-2=0\]

los candidatos a maximos minimos y puntos silla son

\[\quad A=(0,1)\quad B=(2,-1)\quad C=(-2,-1)\]

el hesiano es

\[H(x,y)=\begin{pmatrix}2y+2 & 2x\\\\ 2x & 2 \end{pmatrix}\]

creo que pueden concluir desde aca cual es maximo minimo o punto silla , solo es aplicar los criterios correspondientes

b) los puntos son de la forma

\[(x,y,f(x,y))\]

entonces solo hay que hacer

\[\\A'=(0,1,f(0,1))\\\\ B'=(-1,2,f(-2,-1))\quad C'=(-1,-2,f(2,-1))\]

---

E4) para que exista funcion potencial la matriz jacobiana debe ser simetrica y el dominio simplemente conexo , calculando la matriz jacobiana se observa que para que sea simetrica

necesariamente

\[g'(x)=g(x)\to y'=y\to \frac{dy}{dx}=y\to g(x)=Me^x\]

para hallar M usamos las condiciones iniciales dadas en el ejercicio

\[f(0,0,0)=(0,3,0)\to g(0)=3\]

luego la g que verifica lo pedido es

\[g(x)=3e^x\]

por definicion de funcion potencial

\[ f=\nabla\phi\to \phi(x,y,z)=3ye^x+y^2z+C\]

de la interseccion de las ecuaciones de las superfices obtenemos

\[4-z^2=2y\]

interseccion con el eje z implica que

\[z=0\quad y=2\quad x=0\]

interseccion con el eje y implica

\[y=0\quad z=2\quad x=0\]

los puntos son

\[A=(0,0,2)\quad B=(0,2,0)\]

si recorro la curva en sentido antihorario entonces

\[\phi(B)-\phi(A)=\phi(0,2,0)-\phi(0,0,2)=6\]

---

avisen si mande fruta en algun lado

En el T1 puse de pi/4 a Pi/2 por que considere la circunferencia como techo y la recta x=y como piso, por como daban la integral, me dio el mismo resultado y calculo que me lo dieron bien por que el otro teórico solo enuncie pero no lo resolví.
Aprobé con 5,

T1) Está bien! es lo mismo integrar entre pi/4 y pi/2 que entre 0 y pi/4

T2) No se puede calcular la derivada direccional pedida como (Gradiente en el punto . Vector) ya que la función F no es diferenciable!! Se debe calcular la misma por definición desarrollando el límite.

E1) Me dio distinto, 4pi si mal no recuerdo. Proyecté el cuarto de cono sobre el plano xz integrando en definitiva un cuarto de circunferencia. Creo que me dió bien por la nota que saqué.

E2) Está bien!

E3) el Punto A (0, -1) no es Punto Crítico. Luego el Punto B = Mínimo y los C,D = Ptos de ensilladura. B,C,D puntos cuyo plano tangente es paralelo al plano xy.

E4) No lo hice, pero me parece que está bien.

Saludos y huevo para los que la vayan a dar el 2!!

mmmm no se , con esos resultados que puse, el pibe que me paso el final saco un 7 asi que jeje no saco un 8 porque en el E2 ) en el calculo de masa puso 2 en lugar de 4, y el E4) no lo hizo.

Buenas, Yo rendi ayer, me puse nervioso y tuve varios errores boludos. Particularmente con el E1 me trabe porque pense que no se podia proyectar en XZ siendo que es un cono que nace de y = 2, entonces proyectando en xz perdia la dimension Y. Estoy pensandolo mal, no?
E2 lo tenia bien, E3 lo empece y lo deje asi, los teoricos regulares.
E4 me trabe al hallar los puntos de la circulacion vi 4-z^2=2y y mi cerebro se apago. Ni se me ocurrio como seguir y lo encare varias veces.
Gracias otra vez por la resolucion y la ayuda. Saludos!

Hola, preguntas:

E3) el punto A=(0,-1) no es una opcion me parece porque no hace (0,0) al gradiente.
E2) que siginifica que la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto hasta el eje Z.
T2) con la aclaracion que realizo ignacio.capuccio como se resulveria? la jefa de TP dio una aclaracion sobre este punto mientras haciamos el final que me sugiere que posiblemente sea asi.


Yo hice E1,E3,E4 bien y E2 bien menos pero le erre en los teoricos, T2 no sabia hacerlo y T1 me confundi en el limite de integracion.

Gracias!

Yo lo rendí ayer y aprobé con un 6. Te comento algunas cositas que me hacen ruido:
T2) Creo que no se puede utilizar lo de la composición de funciones ya que no sabés si f y g son diferenciables. Es más, en medio del final entró una profesora y comentó "En el teórico 2 fíjense si pueden usar la formulita que aprendimos de composición de funciones, es un ejercicio teórico" Básicamente te estaba diciendo que no podés usarla. Yo lo hice por definición. Total tenías todos los datos y el límite a resolver era de una pavada. Además, cuidado que r no es un versor. Es un vector.

E3) De los puntos a evaluar solo usé los que nombras como B, C y D. El punto A no vuelve cero al vector gradiente.

Puede que me equivoque pero lo comento.
Saludos!

Javier,

E3) Exacto, el gradiente en el (0,-1) es distinto del (0,0)
E2) Significa que la densidad (d) = k . raiz(x^2 + y^2) // si te dijeran que es prop al eje Y => d = k . raiz(x^2 + z^2) // si te dijeran que es proporcional al plano xy => d = k . z
T2) te dejo una foto porque me da mucha paja usar el latex



Saludos!

es cierto que la composicion en el T2) es

\[F(x,y)=|x|^2+xy\]

pero en el punto (0,1) solo en ese punto , el cuadrado "mata" a las barras de valor absoluto , quedando

\[F(x,y)=x^2+xy\]

si fuese otro punto, ahi no podria eliminar las barritas molestas, como te dije esa parte , asi como te la indico se la pusieron como correcta al pibe que rindio el final que me lo paso (nota 7) se equivoco en el E2) en lugar de 4 puso 2 al final, y no hizo el E4), y por el punto critico tienen razon , geometricamente es la interseccion del eje x y la recta y=-1 o sea , tres puntos nada mas...(edite la respueta en mi primer mensaje) es por la hora que subi el final che... entiendan

pregunta en el punto E3, el punto (-2,-1) es maximo o minimo?? porque 2y+2 evaluado en el punto da 0...

Fabich rendi con vos, estaba cuando la profesora dijo eso Como se haria entonces?. Alguien me responde si lo del E1 se puede proyectar en xz a pesar de que se pierden puntos?

mira yo creo que se deberia poder, pero lo hice en el examen y no me daba bien, la norma me quedaba mal.. voy a intentar de nuevo a ver si me da lo mismo que proyectando sobre el plano zx...

(25-02-2015 23:00)Alhasar escribió:  Fabich rendi con vos, estaba cuando la profesora dijo eso Como se haria entonces?. Alguien me responde si lo del E1 se puede proyectar en xz a pesar de que se pierden puntos?

pero no entiendo a que te referis con perder puntos, de hecho la funcion g que use la "proyecta" sobre el xz

Hola SAGA, no entiendo bien como arrancas el ejercicio con la siguiente linea
\[g'(x)=g(x)\to y'=y\to \frac{dy}{dx}=y\to g(x)=Me^x\]

Gracias,
Pablo.

(26-02-2015 18:57)pabloignacio escribió:  Hola SAGA, no entiendo bien como arrancas el ejercicio con la siguiente linea
\[g'(x)=g(x)\to y'=y\to \frac{dy}{dx}=y\to g(x)=Me^x\]

Gracias,
Pablo.

cuando haces la matriz jacobina , para que adminta funcion potencial sabes que debe ser simetrica, haciendo las derivadas y demas llegas que para que sea simetrica necesariamente se tiene que cumplir que

g'(x)=g(x)

lo que hice despues , para poder "ver mas lindo" el problema es hacer un cambio de variable

y=g(x)

con eso te queda

y'=y

luego aplique la definicion de y', igualandola a y

\[y'=\frac{dy}{dx}=y\]

despues pase terminos e integre de manera habitual