T1) blabla se cumplen las condiciones del teorema de green, entonces

\[\omega=\oint_{C^+}fds=\iint_R Q'_x-P'_y dA\]

\[\\Q'_x=5+\phi(xy)+yx\phi'(xy)\\\\P'_y=2+\phi(xy)+yx\phi'(xy)\]

finalmente

\[\boxed{\boxed{\omega=\iint_R Q'_x-P'_y dA=\int_{1}^{3}\int_{4}^{7}3dydx=18}}\]

---

T2) blablabla

---

E1) el enunciado nos dice explicitamente que f admite funcion potencial , se cumple entonces

\[\nabla\phi(x,y)=f(x,y)\]

\[\\\frac{d\phi(x,y)}{dx}=6xy\to \phi(x,y)=3x^2y+T(y)\\\\\frac{d\phi(x,y)}{dy}=3x^2+3y^2-3\to\phi(x,y)= 3x^2y+y^3-3y+T(x)\]

la funcion potencial es

\[\boxed{\phi(x,y)= 3x^2y+y^3-3y+K}\]

evaluada en el origen

\[\boxed{\boxed{\phi(x,y)= 3x^2+y^3-3y+4}}\]

para sacar los puntos criticos, por definicion

\[\nabla \phi=(0,0)\]

el sistema asociado es

\[\\6xy=0\\3x^2+3y^2=3\]

geometricamente la interseccion de una circunferencia de radio 1 con los ejes coordenados, entonces los puntos criticos son

\[\boxed{A=(0,1)\quad B=(1,0)\quad C=(0,-1)\quad D=(-1,0)}\]

el Hessiano es

\[H(x,y)=\begin{pmatrix} 6y & 6x\\\\ 6x& 6y \end{pmatrix}\]

hechas las cuentas

\[\boxed{\boxed{\\\mbox{minimo relativo}: (0,1,2)\quad\mbox{punto silla}: (1,0,7),(-1,0,7)\quad\mbox{max relativo}: (0,-1,6)}}\]

---

E2) la recta de forma vectorial la puedo escribir como

\[g:R\to R^3/g(x)=(x,1-2x,3x+1)\quad 0<x<-1\]

por definicion

\[\omega=\int fds=\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)dx\]

hechas las cuentas

\[\boxed{\boxed{\omega=\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)dx=-\int_{-1}^{0}-15x-1dx=-\frac{13}{2}}}\]

---

E3) Se cumplen las condiciones del teorema de la divergencia , entonces

\[div f=-2\]

luego

\[0<z<6-x-y\quad x<y<2x\]

por transitividad

\[y<6-x\]

hay dos limites superiores en y, lo que induce a que la integral se divide en 2

\[\\\min=\left\{x,6-x\right\}\to x<6-x\to x<3\\\min=\left\{2x,6-x\right\}\to 2x<6-x\to x<2\]

tambien con un dibujo sobre la proyección sobre el plano xy se obtienen los puntos donde se divide la integral, luego

\[\varphi=-2\iint_{P_{xy}}\left ( \int_{0}^{6-x-y}dz \right )dydx=-2\iint_{P_{xy}}6-x-y dxdy\]

de donde

\[-2\left(\iint_{P_{xy}}6-x-y dxdy\right)=-2\left(\int_{0}^{2}\int_{x}^{2x}6-(x+y)dydx+\int_{2}^{3}\int_{x}^{6-x}6-(x+y)dydx \right)\]

para ahorrar en cuentas , podemos hacer un cambio de variable, en la primera integral

\[\\u=x\\\\ v=\frac{y}{x}\]

de donde el jacobiano del cambio de variable

\[\left| \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|^{-1}=u\]

en la segunda

\[\\u=x\\v=y+x\]

el jacobiano

\[\left| \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|^{-1}=1\]

entonces las integrales se transforman en

\[-2\int_{0}^{2}\int_{1}^{2}(6-(u+uv))u dvdu-2\int_{2}^{3}\int_{2u}^{6}6-vdvdu=-12\]

por lo tanto

\[\boxed{\boxed{\varphi=-12}}\]

fisicamente el campo propuesto frena el flujo

---

E4) por definicion de linea de campo , dado un campo f=(P,Q) para obtener la linea de campo correspondiente, se cumple \[\frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}\] entonces

\[\frac{dx}{y}=\frac{dy}{-x}\to -\frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2}+K\]

la linea de campo pasa por el (3,4) entonces

\[ -\frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2}-\frac{25}{2}\]

de donde

\[\boxed{x^2+y^2=25}\]

escrita de forma vectorial, una parametrizacion conveniente es

\[g:R\to R^2/g(t)=(5\cos t,5\sin t)\quad t\in[0,2\pi]\]

por definicion

\[\boxed{\boxed{L=\int_a^b||g'(t)||dt=\int_{0}^{2\pi}5dt=10\pi}}\]

Muchisimas gracias Saga!!

saga
dos dudas que me surgieron mientras lo resolvia.
en el e1 los ptos silla me quedan (1,0,7) y (-1,0,7)
( z = 3*1+0-0+4 )
y en el e2 ¿no deberia ser -1<x<0 ?

(23-02-2014 04:01)Jarry escribió:  saga
dos dudas que me surgieron mientras lo resolvia.
en el e1 los ptos silla me quedan (1,0,7) y (-1,0,7)

gracias por avisar, tenes razon @Jarry.. cuando ande el latex lo arreglo
( z = 3*1+0-0+4 )

Cita:y en el e2 ¿no deberia ser -1<x<0 ?

la consigna dice que va desde A hasta B entonces me queda entre -1 y 0 pero como el limite inferior no puede ser mas grande que el superior , en la integral multiplico por un menos para darlos vuelta y me queda -1<x<0

Saga, me das una mano con el T2 ? Estoy medio flojo con la teoria y no se como encararlo .. Intuitivamente entiendo que sea asi, tiene todo el sentido del mundo pero no se como encararlo.

(24-02-2014 11:55)EmilianoM escribió:  Saga, me das una mano con el T2 ? Estoy medio flojo con la teoria y no se como encararlo .. Intuitivamente entiendo que sea asi, tiene todo el sentido del mundo pero no se como encararlo.

aca esta.. en el resumencito que se mando feer fijate la pagina 58

http://www.utnianos.com.ar/foro/attachment.php?aid=8072

Consulta, por qué el E1 da puntos críticos en R3 si la f está definida en R2?

Es como cuando en análisis 1 tenes una función con salida y llegada en los reales.

Si decís que en X=1 la función presenta un máximo o mínimo relativo, el punto esta dado por (1, f(1)).

Ahora si en cambio tenes un punto silla, máximo o mínimo en (xo, yo). Decis que el punto está dado por (xo, yo, zo) = (xo, yo, f(xo,yo))

Fijate que el ultimo termino es la imagen de la función especializada en el punto

Una consulta con el E3)

Entiendo como está resuelto, pero supongamos que en vez de querer resolverlo por el teorema de la Div, quiero resolverlo por definición, se puede?

Estoy intentando resolverlo, pero no puedo llegar al mismo resultado

Planteo:

\[\int_{0}^{2}\int_{x}^{2x} (2x, z-5y, x-y+z)\cdot \frac{|\bigtriangledown S|}{|S'z|}\]

\[\int_{0}^{2}\int_{x}^{2x} (2x, z-5y, x-y+z)\cdot \frac{(1,1,1)}{1}\]

\[\int_{0}^{2}\int_{x}^{2x} 2x-5y+ x-y+2(6-x-y)\]

\[\int_{0}^{2}\int_{x}^{2x} x-8y+12 =\mathbf{\frac{-16}{3}}\]


En que le estoy pifiando?

nada

(04-12-2013 10:01)Saga escribió:  E3) Se cumplen las condiciones del teorema de la divergencia , entonces

\[div f=-2\]

luego

\[0<z<6-x-y\quad x<y<2x\]

por transitividad

\[y<6-x\]

hay dos limites superiores en y, lo que induce a que la integral se divide en 2

\[\\\min=\left\{x,6-x\right\}\to x<6-x\to x<3\\\min=\left\{2x,6-x\right\}\to 2x<6-x\to x<2\]

tambien con un dibujo sobre la proyección sobre el plano xy se obtienen los puntos donde se divide la integral, luego

\[\varphi=-2\iint_{P_{xy}}\left ( \int_{0}^{6-x-y}dz \right )dydx=-2\iint_{P_{xy}}6-x-y dxdy\]

de donde

\[-2\left(\iint_{P_{xy}}6-x-y dxdy\right)=-2\left(\int_{0}^{2}\int_{x}^{2x}6-(x+y)dydx+\int_{2}^{3}\int_{x}^{6-x}6-(x+y)dydx \right)\]

Perdon, alguno puede explicarme de donde salen esos limites de integración para y? no logro entender porque hay que dividir en dos la integral? porque la y no va de x a 2x en todo momento? Perdon si es tonta la pregunta

Salen de la restriccion

\[0<z<6-x-y\quad x<y<2x\]

si proyectas sobre el xy entonces z=0 , y te queda

\[0<6-x-y\quad x<y<2x\]

de la primera despejas la variable y. Ahora o lo haces analiticamente o simplemente haces un grafico de la region R, y ahi podes deducir que la integral esta dividida en dos partes .

Lo entendes ?

Si, ya entendi, gracias Saga!

(04-12-2013 10:01)Saga escribió:  E1) el enunciado nos dice explicitamente que f admite funcion potencial , se cumple entonces

\[\nabla\phi(x,y)=f(x,y)\]

\[\\\frac{d\phi(x,y)}{dx}=6xy\to \phi(x,y)=3x^2y+T(y)\\\\\frac{d\phi(x,y)}{dy}=3x^2+3y^2-3\to\phi(x,y)= 3x^2y+y^3-3y+T(x)\]

la funcion potencial es

\[\boxed{\phi(x,y)= 3x^2y+y^3-3y+K}\]

evaluada en el origen

\[\boxed{\boxed{\phi(x,y)= 3x^2+y^3-3y+4}}\]

para sacar los puntos criticos, por definicion

\[\nabla \phi=(0,0)\]

el sistema asociado es

\[\\6xy=0\\3x^2+3y^2=3\]

geometricamente la interseccion de una circunferencia de radio 1 con los ejes coordenados, entonces los puntos criticos son

\[\boxed{A=(0,1)\quad B=(1,0)\quad C=(0,-1)\quad D=(-1,0)}\]

el Hessiano es

\[H(x,y)=\begin{pmatrix} 6y & 6x\\\\ 6x& 6y \end{pmatrix}\]

hechas las cuentas

\[\boxed{\boxed{\\\mbox{minimo relativo}: (0,1,2)\quad\mbox{punto silla}: (1,0,7),(-1,0,7)\quad\mbox{max relativo}: (0,-1,6)}}\]

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Hola,
en el E1 cuando evaluas la funcion potencial en el origen, queda asi:
\[\boxed{\phi(x,y)= 3x^2y+y^3-3y+4}\]
Creo que te comiste que el primer termino se multiplica por Y.

Por lo tanto, los puntos sillas quedan definidos en (1,0,4) y en (-1,0,4).

Corregime si me equivoco, saludos!

Tal cual me olvide ese termino, en mi defensa puedo decir que estaba dormido ??

Lo peor es que encontre bien la f potencial y cuando lo tipee aca me olvide el termino que mencionas

En un rato cuando salga del trabajo edito el mensaje , gracias por la corrección