Gracias por las respuestas a esperar a ver si alguien resuelve el 3b

Pongo la resolución del 1.a)
(me trabe con una boludes, y cuando me encontré tratando de usar la identidad de Brahmagupta–Fibonacci me di cuenta que me había ido a la mierda, asi que le pregunté a mi novia y me dice: "elevá todo al cuadrado" , en fin, aquí la resolución):

Planteamos el haz de planos:
\[\alpha( y-z-3) +\beta \left( x\right) =0\]
\[\beta(x) + \alpha (y) - \alpha (z) -3 \alpha =0\]

Luego, de la formula de distancia de un punto a un plano:

\[\frac{\left | \beta . 0 + \alpha . 0 - \alpha . 0 - 3 \alpha \right |}{\sqrt{\beta^{2} + \alpha ^ {2} + \alpha ^{2}}} =\sqrt 3\]

\[\frac{\left | -3 \alpha \right |}{\sqrt{\beta^2+2\alpha^2}} = \sqrt 3\]

Luego elevamos todo al cuadrado (y en este paso pelotudo me perdi ) y tambien separamos el módulo:
(recordar: |-3 x| = |-3| . |x| = 3 . |x| )

\[\frac{9 \alpha^2}{\beta^2+2\alpha^2} = 3\]
Aplicamos despeje variado... y llegamos a:

\[\alpha^2 = \beta^2 \\ \alpha^2 - \beta^2 = 0 \\ (\beta+\alpha) (\beta - \alpha) = 0 \\ \beta+\alpha = 0 \vee \beta-\alpha=0 \\ \alpha = \beta \vee \alpha = -\beta\]

Volvemos a nuestra ecuacion del plano y reemplazamos:

\[\alpha x +\alpha y - \alpha z - 3\alpha = 0 \\ -\alpha x + \alpha y - \alpha z -3\alpha = 0\]
Sacamos factor común \[\alpha\] y voilà!
\[\alpha ( x+y-z-3 = 0) \\ \alpha (-x+y-z-3 = 0)\]

PD: gracias al mundo por tex y tantas otras cosas.

Genial xarhakos, buen aporte, tambien tenias la opcion de trabajarlo con el haz reducido, es lo mismo solo que menos cuentas, muy clara y prolija tu explicacion

saludos

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3b) Desde el punto de vista geometrico S es la ecuacion de un plano que pasa por el origen, generado por los vectores \[u=(1,0,1)\quad v=(0,1,0)\] que pertenecen al nucleo de f, definimos

\[\\f(1,0,1)=(0,0,0)\\f(0,1,0)=(0,0,0)\\f(-1,-2,-3)=(2,4,6)\]

De aca solo es aplicar los conceptos y definiciones para responder la pregunta del enunciado

edited...

(27-02-2012 21:19)Julita escribió:  

(27-02-2012 20:24)Leito.UTN escribió:  2b) me quedo la diagonal con los autovalores 0 y -2, pero no entiendo bien que me piden al final. Se que A^6= p. D^6. p^-1

Tenés que resolver p . D^6 . p^-1 y te va a dar la matriz (32,32,32,32) entonces es verdadero

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Bah, si te da eso es verdadero xD sino falso

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Al final mi amigo tenía este tema también, pero no tiene sentido que les escriba lo poco más que recuerdo mirando este porque era exactamente igual pero en lugar por ej de x+y+w en el 3 decía x+y+z (?)

A mi me quedó ma Matriz (-32 32 -32 32) -> Falso

a mi me dio verdadero eh! Capaz te equivocaste, o me equivoque en las cuentas.

Con respecto al punto 1a, tal como dice Saga, yo lo hice planteando el haz como:
AX+Y-Z-3 con (A parametro) y salio mucho mas rapido

Solución del ejercicio 3b por si a alguien le quedó pendiente.


Cualquier cosa consúltenme. Si no respondo mandenme MP.

¿Cómo te das cuenta tan rápido de los autovalores DarkCrazy?
Les muestro lo que hice yo recién para el 3b)

Primero necesito la expresión análitica de la TL, con los datos del nucleo y el que me dan tengo:

\[\\F(1,0,1) = (0,0,0)\\F(0,1,0) = (0,0,0) \\F(-1,-2,-3) = (2,4,6)\\\therefore F(x,y,z) = (-z+x,-2z+2x,-3z+3x)\]
Entonces la matriz asociada a F en bases canónicas es:
\[M_{E{E}'}(F)=\begin{pmatrix}1 & 0 &-1 \\2 & 0 & -2\\ 3 & 0 &-3 \end{pmatrix}\]
De aca sacamos los autovalores asociados a la TL (si hay una manera más corta por favor me avisan)
\[\begin{vmatrix}1-\lambda & 0 &-1 \\2 & 0-\lambda & -2\\ 3 & 0 &-3-\lambda\end{vmatrix} = 0\]

Resolviendo ese determinante me queda:
\[\\\lambda_{1} = \lambda_{2} = 0\\\lambda_{3}=-2\]

Hallamos los subespacios asociados a los autovalores:
\[\begin {pmatrix} 1-0&0&-1\\2&0-0&-2\\3&0&3-0\end{pmatrix} . \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-z\\2x-2z\\ 3x-3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\]

Entonces:
\[\\S_{\lambda_{1,2}}=\left \{\bigl(\begin{smallmatrix}z\\y\\z\end{smallmatrix}) \epsilon R^{3x1} /y,z \epsilon R^3\right \}\\base = \left \{ \bigl(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}\bigr), \bigl(\begin{smallmatrix}1\\0\\1\end{smallmatrix}\bigr) \right \} \]
Mult. algebraica(2 lambdas iguales) igual a multiplicidad geométrica(dim de S = 2) entonces recien ahora puedo decir que M(T) es diagonalizable. ¿O me equivoco?


Hacemos lo mismo para el otro autovalor:

\[\\\begin {pmatrix} 1+2&0&-1\\2&0+2&-2\\3&0&3+2\end{pmatrix} . \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-z\\2x+2y-2z\\ 3x-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\\\\\mathbf{3x=z}\\2x+2y-2(3x)=0\\2y-4x=0\\\mathbf{y=2x}\]


\[\\S_{\lambda_{1,2}}=\left \{\bigl(\begin{smallmatrix}x\\2x\\3x\end{smallmatrix}) \epsilon R^{3x1} /x \epsilon R^3\right \}\\base = \left \{ \bigl(\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\bigr) \right \}\]

Finalmente obtenemos la matriz diagonal (que de cualquier manera el ejercicio no la pedía)
\[D = \begin{pmatrix}0 &0 &0 \\0 &0 &0 \\0 &0 &-2\end{pmatrix}\]

Esta matriz sera la matriz asociada a F en la base B
\[B = \{(0,1,0) (1,0,1),(1,2,3) \}\]

Este método de resolución lo vi en algun otro parcial resuelto o algún libro, no me acuerdo, pero de algún lado lo saque.
¿Qué opinan? ¿Está bien? ¿Como obtuviste vos los autovalores DarkCrazy? ¿Alguien más rinde pasado mañana? ¿Etc., etc.,?

Saludoss.

(29-02-2012 00:04)DarkCrazy escribió:  Solución del ejercicio 3b por si a alguien le quedó pendiente.


Cualquier cosa consúltenme. Si no respondo mandenme MP.

como hiciste para que sea diagonalizable sin ninguna cuenta? hay que demostrarlo o vos aplicaste algo?

(29-02-2012 15:16)xarhakos escribió:  ¿Cómo te das cuenta tan rápido de los autovalores DarkCrazy?
Les muestro lo que hice yo recién para el 3b)

Primero necesito la expresión análitica de la TL, con los datos del nucleo y el que me dan tengo:

\[\\F(1,0,1) = (0,0,0)\\F(0,1,0) = (0,0,0) \\F(-1,-2,-3) = (2,4,6)\\\therefore F(x,y,z) = (-z+x,-2z+2x,-3z+3x)\]
Entonces la matriz asociada a F en bases canónicas es:
\[M_{E{E}'}(F)=\begin{pmatrix}1 & 0 &-1 \\2 & 0 & -2\\ 3 & 0 &-3 \end{pmatrix}\]

[...]

Cómo sacaste la analítica con esos datos solamente?

xarhakos una matriz es diagonalizable si todos sus autovectores son distintos o si hay alguno que es raiz doble ('repetido') este tiene que generar dos autovectores para ser diagonalizable la matriz.

Bueno acá estamos trabajando con una matriz de 3x3, tenemos 2 autovalores, 0 y -2 y 0 es raiz doble (está dos veces), entonces debe generar 2 autovectores para así poder decir que la mat es diagonalizable.
Pues bien, genera dos autovectores entonces ya está

En este ejercicio el tema se resuelve facil si nos acordamos que T(v) = lambda(v) donde v es un autovector y lambda es su autovalor.

Como descubrí que los autovalores eran 0 y 2 ? bueno porque eran los que satisfacían la propiedad que acabo de mencionar [ T(v) = lambda(v) ]

Ahora está más claro?
Conste que yo no sabía resolver el ejercicio pero así lo resolvió un champion de las matematicas! Así que dudo que este mal.

che es facil! yo rogaba para que me toque uno de estos ejercicios en el parcial :/ lamentablemente me trituraron :/

(27-02-2012 21:13)rommisu escribió:  El 4a es verdadero, fue uno de los pocos que hice bien en el final. Fijate si lo copiaste bien.
Es: | z - 4 | + | z | = 8

(rommisu,al final del post respondo tu pregunta).

Varias cosas, empecemos por esto del 4a), lo hice un par de veces y lamentablemente me da falso rommisu, sin embargo tu seguridad me hace dudar un poco
La parte de complejos me quedo esto:
\[(x-2)^2 + \frac{y^2}{3/4} = 12\]

Y la parametrizacion la pongo por si le sirve a alguien:

Cita:\[\left\{\begin{matrix}x=2+4cos(t)\\y=2\sqrt3sen(t)\end{matrix}\right.\]
Despejamos:

\[\left\{\begin{matrix}\frac{x-2}{4}=cos(t)\\\frac{y}{2\sqrt3}=sen(t) \end{matrix}\right.\]

Elevamos al cuadrado y sumamos:

\[\bigl(\frac{x-2}{4}\bigr)^2 + \bigl(\frac{y}{2\sqrt3}\bigr)^2 = cos^2(t) + sen^2(t) = 1\]

Acomodamos un poco y llegamos al resultado:
\[\\\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1\\\textnormal {Multiplicamos todo por 16:}\\(x-2)^2+\frac{y^2}{4/3} = 16\]

Asi es, quedo sospechosamente parecido, pero verifique vaaarias veces y no pude encontrar ningun error, asi que agradeceria cualqiuer comentario sobre este ejercicio
*********************************************
Volviendo al 3b)

rommisu escribió:Cómo sacaste la analítica con esos datos solamente?

rommisu, como sabemos por el teorema fundamental de las T.L., si vos tenes, por ejemplo:
\[T:V\rightarrow W\] y V es de dimension 3, entonces con los transformados de 3 vectores LI, te queda definida una unica TL (muchas veces pasa que te dan menos datos, y vos tenes que inventar uno, por ejemplo si en este caso no te decian que F(-1,-2,-3)=(2,4,6), vos tenias que inventar alguno que sea LI con los otros dos que ya tenias del nucleo, por ejemplo: F(0,0,1) = (1,2,3), claro que esto seria un ejercicio totalmente distinto).
Volviendo a tu pregunta, una vez que tenes esos tres datos, procedes de la siguiente manera para encontrar la expresion analitica de la TL:

Cita:\[\\(x,y,z) = \alpha(1,0,1)+ \beta(0,1,0) + \pi(-1,-2,-3)\\\left{\begin{matrix}x = \alpha - \pi\\ y = \beta -2\pi\\ z=\alpha-3\pi\end{matrix}\right.\]
Despejando llegas a:\[\left\{\begin{matrix}\alpha = \textnormal {no me importa}\\ \beta = \textnormal {no me importa}\\ \pi = \frac{-z+x}{2}\end{matrix}\right.\]
A continuacion aplicas la transformacion a ambos lados de la igualdad:
\[\\F(x,y,z) = \alpha (0,0,0) + \beta (0,0,0) + \pi (2,4,6)\\F(x,y,z) =\frac{-z+x}{2}(2,4,6)\\F(x,y,z) = (-z+x,-2z+2x,-3z+3x)\] y listo el pollo, no es que la saque directamente, hay que hacer todo eso

***********************
Finalmente, DarkCrazy, gracias por tu aclaracion, es cierto, el metodo que mencionas es asquerosamente mas corto y rapido, y para un final el tiempo es mas valioso que el oro. Un detalle, nuestras bases son distintas (el signo opuesto para el tercer vector), sin embargo, ambos resultados son correctos, ya que un autovalor puede tener asociados mas de un autovector, pero un autovector puede tener solo un autovalor asociado (espero no estar tirando sanata con esto). Saludos!

(01-03-2012 03:42)xarhakos escribió:  

(27-02-2012 21:13)rommisu escribió:  El 4a es verdadero, fue uno de los pocos que hice bien en el final. Fijate si lo copiaste bien.
Es: | z - 4 | + | z | = 8

(rommisu,al final del post respondo tu pregunta).

Varias cosas, empecemos por esto del 4a), lo hice un par de veces y lamentablemente me da falso rommisu, sin embargo tu seguridad me hace dudar un poco
La parte de complejos me quedo esto:
\[(x-2)^2 + \frac{y^2}{3/4} = 12\]

No se qué habrás hecho mal xarhakos, pero a mi me da: \[\frac{(x-2)^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1\]
Lo cual daría verdadero...

Fijate qué resolviste mal

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Bleh, te escribo lo que hice....

\[\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}= 8\]

No creo que hasta ahí tengas dudas

Ahora, paso la segunda raíz restando al otro lado y elevo todo al cuadrado, resuelvo y queda:

\[(x-4)^{2}+y^{2}=64-16\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x^{2}+y^{2}\]

Cancelo las y^2, resuelvo el (x-4)^2 y cancelo las x^2, queda:

\[-8x+16=64-16\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]

paso el 64 y el -16 y después elevo al cuadrado de ambos lados, queda:

\[(\frac{x}{2}+3)^{2}=x^{2}+y^{2}\]

Resuelvo en el primer término, completo cuadrados y me queda:

\[\frac{3}{4}(x-2)^{2}+y^{2}=12\]

Resolviendo:

\[\frac{(x-2)^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1\]

Gracias julita, no pude encontrar mi error pero evidentemente lo que vos hiciste esta bien, yo me la complique en las cuentas al pedo.
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Tengo una duda del 4b) El enunciado decia:

Cita:C pertenece a R^(n*n) y la dimensión del espacio columna de C es 'n' y D pertenece a R^(n*n) / |D|=0 => k.C + D es una matriz inversible para todo k real

Para que k.C+D sea inversible su determimante debe ser distinto de 0
\[\left | k.C+D \right | \neq 0\]

Pero si k=0 me queda:
\[\left | 0.C+D \right | = |D| = 0\]

entonces es falso. Pero me hace dudar mucho ya que no use el otro dato.
(La dimension del espacio columna de C es n, por lo tanto su rango es n, y esta la propiedad que dice que:
\[A^{n*n}, r(A)=n \Leftrightarrow |A| \neq 0\]

Pero me da falso sin tener que usar eso. Esta bien lo que hice?
Gracias!