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Lo resolvemos ...

T1) es igual al de la guia, si tengo derivadas parciales continuas entonces se cumple que

\[f'(A,v)=\nabla f(A)v\]

notar que el versor ya esta definido , sabemos que el gradiente de f contiene las parciales respecto de cada variable, que por comodidad en notacion llamo a y b, nos piden calcular

\[f'(A,v)=\nabla f(A)v=(a,b)(-0,8;0,6)\quad *\]

necesito los valores de a y b para eso las hipotesis del problema son

\[f'(A,v)=\nabla f(A)v=(a,b)(0,6;0,8)=3\]

\[f'(A,v)=\nabla f(A)v=(a,b)(0,8;0,6)=11\]

sistema de ecuaciones de 2x2 de donde se deduce que

\[a=25 \quad b=-15\]

remplazando en *

\[f'(A,v)=\nabla f(A)v=(25,-15)(-0,8;0,6)=-29\]

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T2) planteamos la ecuacion caracteristica para obtener el \[y_h\]

\[r^2+4=0\to r=\pm 2i\]

entonces

\[y_h=C_1\cos (2x)+C_2\sin(2x)\]

para el \[y_p\] propongo

\[y_p=m\]

de donde

\[y'=y''=0\] reemplazando en la ED dada inicialmente

\[4m=8\to m=2\]

luego la SG es de la forma

\[y(x)=C_1\cos (2x)+C_2\sin(2x)+2\]

con las condiciones iniciales

\[y(0)=2\quad y'(0)=4\]

la curva pedida es

\[y(x)=2\sin(2x)+2\]

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E1) la superfice es cerrada entonces podemos aplicar tranquilamente el teorema de la divergencia

\[div f=4\]

1) si tomo coordenadas cilindricas la integral de volumen a resolver es

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{2}^{\sqrt{13-r^2}} 4r dzdrd\theta=\frac{8}{3}(13\sqrt{13}-35)\pi\]

verifinquelo con wolfram

2) en esfericas tomando como w desde la linea del ecuador

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{arcsin \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right )}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\frac{2}{\sin w}}^{\sqrt{13}} 4r^2\cos w drdwd\theta=\frac{8}{3}(13\sqrt{13}-35)\pi\]

verifiquelo con wolfram

3) en esfericas tomando w desde el polo (eje z)

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{arcos \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right )}\int_{\frac{2}{\cos w}}^{\sqrt{13}} 4r^2\sin w drdwd\theta=\frac{8}{3}(13\sqrt{13}-35)\pi\]

verifinquelo con wolfram

4) en cartesianas limito al primer octante y multiplico por 4

\[V=4 \int_{0}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^2}}\int_{0}^{\sqrt{13-x^2-y^2}}4 dzdydx=\frac{8}{3}(13\sqrt{13}-35)\pi\]

verifiquenlo con wolfram

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E2) las intersecciones con z=1 y z=9 nos dan las siguientes curvas

\[C_1=\left\{\begin{matrix}z=1\\ x^2+y^2=9\end{matrix}\right.\]

\[C_2=\left\{\begin{matrix}z=9\\ x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\]

edito desde aca gracias a la correccion hecha por ces14

el volumen se pude calcular de la siguiente manera

1) por dos integrales las cuales son

V=volumen del cilindrito interior de radio 1+ volumen de esa "media campana" por decirlo asi

\[V=\pi r^2 h+\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{3}\int_{1}^{\frac{9}{r^2}} rdzdrd\theta\]

de donde

\[V=8\pi+2\pi(9ln(3)-4)=18\pi\ln(3)\approx 62.1251\]

verifinquelo con wolfram

2) por una sola integral que es lo que sugiere ces14

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{9}\int_{0}^{\frac{3}{\sqrt{z}}} rdrdzd\theta=2\pi\ln(19683)\approx 62.1251\]

verifinquelo con wolfram

muchas gracias nuevamente ces14

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E3) sale por el teorema de green

\[\omega=\iint_R Q'_x-P_y dA\]

\[\\Q'_x=e^x+xe^x\\\\ P'_y=e^x\]

la integral a resolver es

\[\omega=\int_{1}^{2}\int_{0}^{\frac{1}{x}} xe^x dydx=(e-1)e\]

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E4) defino la funcion

\[F(x,y,z)=\ln(x+y+z-3)+xz+y^2-3\]

solo hay que calcular el gradiente de F en el punto que nos dan , resulta que

\[\nabla F(1,1,2)=(3,3,2)\]

la ecuacion de la recta normal pedida , escrita de forma vectorial es

\[r(t)=(1+3t,1+3t,2+2t)\quad t\in R\]

la interseccion con el plano de ecuacion \[y=x+z\] se obtiene que

\[1+3t=1+3t+2+2t\to t=-1\]

el punto de interseccion es

\[r(-1)=P=(-2,-2,0)\]

por definicion la longitud es

\[L=\int_{a}^{b}||g'(t)||dt\]

al ser una recta la longitud se puede calcular :

1) vectorialmente defino el vector entre los puntos A(dato) y P

\[AP=P-A=(-3,-3,-2)\]

el modulo (o longitud) es

\[||AP||=||P-A||=\sqrt{9+9+4}=\sqrt{22}\]

2) por integracion

\[L=\int_{-1}^{0} ||r'(t)|| dt=\int_{-1}^{0}\sqrt{22}dt=\sqrt{22}\]

Gracias!, te hago una consulta. En el E4 cuando reemplazas el punto (1,1,2) en el gradiente ami me quedó (3,3,3/2) puede ser que se te halla pasado? o yo lo hice mal?

Recién me fije bien y me da lo mismo que Saga. Como te quedó F derivada respecto de Z?

F'z = [1/(x + y + z - 3)] + x

Reemplazando el punto que te dan, te queda F'z = 2

nada

Toda la razon del mundo ces14 estaba dormido cuando lo resolvi jejeje , edite el mensaje con mi resolucion, bien ahi por la correccion ... si encontras /encuentran otro error avisen

Saga, una consulta sobre la nomenclatura en el T2)

Cuando evalúo en la SG y obtengo las constantes obtengo la SP.

Pero cuando calculamos la Yp, como se la llama, Yparticular? En mis anotaciones tengo SP, pero claramente no es la SP por definición.
Lo mismo para Yh, yo la llamo SH, pero no sé si es así o es Yhomogénea.

Espero haber sido lo más claro posible, dentro de lo poco claro que aparentemente tengo estos conceptos jaja!


Saludos,
Juan Pablo

Es un tema de notacion JuanPablo, cuando las raices del polinomio caracteristico son imaginarias entonces la solucion general se expresa

y=y solucion homogenea+y solucion particular

y para que se vea bonito en la cursada que di , no lo enseñaron como

\[y=y_h+y_p\]

otros profesores vi que usan

\[y=y_{SH}+y_{SP}\]

gracias! la estoy preparando voy a practicar !
saludos!

Claro, pero vos ponés Yp = m = 2. Es decir, la Solución Particular es 2.

Pero en realidad la Solución Particular es la que se obtiene evaluando las condiciones iniciales en la Solución General.
Es decir, la Solución Particular es \[y(x)=2\sin(2x)+2\].

En este caso, la Solución General se obtiene sumando la Solución Homogénea + la Solución Particular.
Pero en este punto no conozco la Solución Particular porque no obtuve la Solución General.

Entonces, ahí viene mi duda. Como llamo a la Yp? Análogamente me pregunto lo mismo para la Yh.

Sería válido llamar así lo siguiente?
Yh (Y Homogénea) a la que uso en el momento de la ecuación característica
Yp (Y Particular) a la que propongo para el caso de esta Ec. No Homogénea.
SG = Yh + Yp
SP = SG evaluada en las condiciones iniciales.

Gracias!

la yh y la yp corresponden al primer y segundo miembro de la ED

es decir que la yh verifica la ecuacion y''+y=0 es como si fuese otra ED en particular una ED homogenea porque el segundo miembro es 0

la yp verifica otra diferencial de la forma y''+y=2

la suma de las dos, cuando las raices del polinomio caracteristico son imaginarias me da la SG de la ED ORIGINAL , por decirlo de alguna manera

la SG es la suma de ambas

la SP de la ED es la que se obtiene al evaluar la SG en los puntos por donde pasa la SG

Me explico ?

SAGA te hago una consulta con respecto al Ejercicio 4. Mi duda esta en el momento en que hayas las derivadas de la funcion que esta definida implicitamente. Yo las saque haciendo F´x= -f´x/f´z y F´y= -f´y/f´z y luego plantee la recta normal como (x,y,z)= (1,1,2)+Landa(F´x(po); F´y(po); -1)
Porque habria que tomar en este caso las derivadas directamente siendo que es una funcion implicita? Muchas gracias!

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Creo que mi error esta en que en ningun lado me definio la superficie en funcion de otra cosa si no que directamente da la superficie definida implicitamente

(06-12-2014 00:04)Rimovick escribió:  SAGA te hago una consulta con respecto al Ejercicio 4. Mi duda esta en el momento en que hayas las derivadas de la funcion que esta definida implicitamente. Yo las saque haciendo F´x= -f´x/f´z y F´y= -f´y/f´z y luego plantee la recta normal como (x,y,z)= (1,1,2)+Landa(F´x(po); F´y(po); -1)
Porque habria que tomar en este caso las derivadas directamente siendo que es una funcion implicita? Muchas gracias!

No veo mal el planteo ... de hecho te deberia dar una normal igual o equivalente resolviendolo como lo haces Rimovick

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Cita:Creo que mi error esta en que en ningun lado me definio la superficie en funcion de otra cosa si no que directamente da la superficie definida implicitamente

Esta bien como lo hiciste , tenes una funcion definida en forma implicita y podes usar el teorema de couchy -dini para aproximarla por su plano tangente, lo que estas haciendo en escencia es calcular el vector perpendicular (normal) a esa superfice, que seria lo mismo que hacer el gradiente de esa superficie que te dan definida en su forma implicita

Pensa un caso sencillo , por ejemplo la ecuacion de una superficie definida en forma implicita como

\[xy+yz+x^2=0\]

y nos piden la recta normal en A=(1,1,2), suponiendo que no podes despejar ninguna variable , defino

\[F(x,y,z)=xy+yz+x^2\]

el gradiente sera

\[\nabla F(x,y,z)=(y+2x,x+z,y)\]

evaluada en el punto

\[\nabla F(1,1,2)=(3,3,1)\]

si aplicas couchy-dini

\[F'_x=\frac{f'_x(A)}{f'_z(A)}=3\]

\[F'_y=\frac{f'_y(A)}{f'_z(A)}=3\]

como ves llegas a lo mismo

Perfecto, Saga! Muchas gracias!!!


Tengo una consulta conceptual sobre el E2).

He llegado a obtener los mismos límites de integración como los hizo ces14.
Pero generalmente el orden de las integrales las pongo z,r y tita, entonces me queda:

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{3}{\sqrt{z}}}\int_{1}^{9} r dzdrd\theta\]

Lo cuál no está muy bien porque el resultado me quedaría en función de z.
Lo ideal sería que me quede como mencionaron:

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{9}\int_{0}^{\frac{3}{\sqrt{z}}} rdrdzd\theta\]

Mi pregunta es la siguiente: Puedo cambiar el orden de las integrales (intercambiar z y r) así directamente sin hacer ningún cálculo?



Muchas gracias!!!
Juan Pablo

(07-12-2014 14:17)JuanPablo escribió:  \[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{9}\int_{0}^{\frac{3}{\sqrt{z}}} rdrdzd\theta\]

Mi pregunta es la siguiente: Puedo cambiar el orden de las integrales (intercambiar z y r) así directamente sin hacer ningún cálculo?

Sí , asi sin mas das vuelta los diferenciales