(04-03-2013 01:48)fedee90 escribió:  

(04-03-2013 01:39)feder escribió:  

(04-03-2013 00:25)xarhakos escribió:  En realidad \[A^{100} = D^{100}\] me parece que no es correcto, la manera correcta de hacer las potencias de matrices es algo asi como la siguiente.

Primero hallas la matriz diagonal D (que se compone por los autovalores y NO los autovectores, guarda con eso).

Luego, tenes que hallar la matriz P, y \[P^{-1}\],
luego sabemos que \[D = P^{-1} A P\],
operando llegas a que \[A = P D P^{-1}\],
y se demuestra que: \[A^{n} = P D^{n} P^{-1}\]

La potenciacion de una matriz diagonal es algo trivial, simplemente potencias las diagonales.
Pero claro, tenes que hacer la multiplicacion completa de \[P D^{n} P^{-1}\]
(que obviamente es mucho mas facil que multiplicar 100 o mil veces una matriz por si misma).

Bueno, ese es el procedimiento, de ahi que me llamo la atención que te den b=1, porque, como dije antes, con b=1 quedan forzados los autovalores que ya hallamos en el 4a), por consiguiente a debe ser = -2 para que A resulte diagonalizable y se pueda realizar todo el procedimiento que describí recien., Luego, no podriamos probar lo que nos pide el enunciado ya que dice "para todo a", y con b=1 ya quedó particularizado para a=-2. Y ahi esta el problema xD
Si alguien hechar un poco de luz bienvenido sea.
(por cierto, hice la prueba haciendo de cuenta que el enunciado 4b) dijera b=0 y ahí sí tiene sentido)

yo lo que plantee, y por la nota que me saque, creo que esta bien lo que puse... para que cumpla eso, es evidente que A^100 tiene que ser I, entonces SÍ vale que A^100=D^100 porque se tiene que cumplir que A^100=PD^100P^-1... o sea, D^100 tiene que ser I, asi se cancela y te queda P P^-1 = I entonces nos queda A^100 = I que es lo que tiene que pasar. Pero si b=1, los autovalores creo que eran 1, -3 y 4 (no me acuerdo bien), por lo que D sería: \[\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0\\ 0& 1 &0 \\ 0&0 & 4\end{pmatrix}\] y al elevarla a la 100, te quedan esos numeros a la 100 y lejos esta de darte la matriz identidad, porque -3^100 o 4^100 no da 1

Ahora hago el de complejos, estudie tanto algebra que puedo dar clases na mentira, ahora lo voy haciendo

Ojo.. que A sea diagonalizable, no significa que A^100 = D^100 ... son semejantes, eso significa que si multiplicas P^(-1).D^(100).P = A^(100)

Fijate en este ejemplo.\[A=\begin{pmatrix}1 &1 \\ 1& 1\end{pmatrix}\]. Su matriz diagonal es \[D=\begin{pmatrix}0 &0 \\ 0& 2\end{pmatrix}\]

Pero \[A^{6} \neq D^6\] , en cambio cumple \[A^{6} = P^{-1}.D^6.P\]

si, pero en el caso que vos pones A^6 no es la matriz identidad

Si, ya se. Si fuese la identidad, corresponde lo que vos decís. Pero la matriz A en el ejercicio no es la Matriz identidad
Tambien fijate que si \[A^{100}.\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\] ... la matriz ^\[A^{100}\] no necesariamente tiene que ser la identidad.
Porque para \[A=\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}\] tambien verifica...

Yo creo, que para resolver el ejercicio hay que plantear que si b=1 entonces con a=-2 va a ser diagonalizable. Entonces sacamos los autovalores, los autovectores, armamos la matriz P y su inversa y calculamos
\[A=P^{-1}.D.P \rightarrow A^{100}=P{-1}.D^{100}.P\] con\[A \approx D\]

bueno, me lo puse a hacer en serio, todo lo que dije es una boludez...

\[\begin{vmatrix}0-\lambda & 1 &2 \\ 1 & 0-\lambda & a\\ 0 & 0 & 1-\lambda\end{vmatrix}=0\] Lo resolvemos por 3ra fila que es lo mas conveniente, y nos queda: \[(1-\lambda)\begin{vmatrix}-\lambda &1 \\ 1 & -\lambda\end{vmatrix}=0\] --->\[(1-\lambda)(\lambda^2-1)=0\] ---> \[(1-\lambda)(\lambda-1)(\lambda+1)=0\] ---> Esto me quiere decir que CUALQUIERA sea el a, los autovalores son {-1,1,1}. Esto te puede llevar al error de decir: "bueno, la matriz D es:" \[D=\begin{pmatrix}-1 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{pmatrix}\] y entonces como 100 es una potencia par ---> \[D^{100}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{pmatrix}=I\] POR LO QUE ---> \[A^{100}=P.I.P^{-1} ---> A^{100}=P.P^{-1} ---> A^{100}=I\] lo que diriamos, "barbaro, nos dio que es la identidad, entonces cumple lo que pide el ejercicio y es verdadero".

y esto es un ERROR, porque los autovalores SÍ van a depender del valor de a, y un valor erroneo de a, puede llevar a que el autovalor 1 genere un solo autovector y estamos en la lona... por eso analizamos eso y tenemos: \[\lambda=1 ---> \begin{pmatrix}-1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=0\] la fila de los ceros se va, pero si se fijan, SOLAMENTE con \[a=-2\] las dos filas que nos quedan son L.D y pueden generar dos autovectores, lo que hace que \[P\] tenga inversa y valga la famosa igualdad. Esto hace que la respuesta sea FALSO, solo con \[a=-2\] se logra esa igualdad.

De hecho, si ponemos \[\begin{pmatrix}0 &1 &2 \\ 1& 0& a\\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}^{100}\] en el wolfram alpha, nos da que es igual a: \[\begin{pmatrix}1 &0 &50a+100 \\ 0 &1 &50a+100 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\] y no es ninguna casualidad que el valor que anula el \[50a+100\] sea \[-2\]

En fin, les dejo el link del wolfram para que corroboren esto ultimo que puse y nada, creo que ahora si esta bien este ejercicio un abrazo y ahora subo el de complejos !
http://www.wolframalpha.com/input/?i={{0...%2C1}}^100

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(04-03-2013 02:54)fedee90 escribió:  Si, ya se. Si fuese la identidad, corresponde lo que vos decís. Pero la matriz A en el ejercicio no es la Matriz identidad
Tambien fijate que si \[A^{100}.\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\] ... la matriz ^\[A^{100}\] no necesariamente tiene que ser la identidad.
Porque para \[A=\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}\] tambien verifica...

Yo creo, que para resolver el ejercicio hay que plantear que si b=1 entonces con a=-2 va a ser diagonalizable. Entonces sacamos los autovalores, los autovectores, armamos la matriz P y su inversa y calculamos
\[A=P^{-1}.D.P ightarrow A^{100}=P{-1}.D^{100}.P\] con\[A \approx D\]

mmm, creo que si o si tiene que ser la identidad, porque esa matriz que pones tiene determinante=0 y nunca podria ser A^100 por eso de que \[|A.B|=|A|.|B|\] entonces la identidad ME PARECE no estoy seguro, es la unica matriz no singular que lo cumple

EDIT: ahora que me fijo, el det(A)=-1, por lo que el det(A^100)=1, si bien la identidad parece ser la unica, despues de como 10 minutos encontre: \[\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\ 0& 1 &5 \\ -1 &1 &3 \end{pmatrix}\] cumple con lo que pide, y ademas tiene det=1 por lo que "podria" ser A^100. tenias razon, no es solo la identidad... pero planteamos lo que decis vos y lo que puse hace un rato aca en mi resolucion, y diagonalizas A para a=-2 que es para el unico caso que podes, y como D^100 es la identidad, porque los autovalores son {-1,1,1}; ya esta, A^100 tambien tiene que serlo. Asi que gracias por la correccion, quizas alguno me copiaba y lo ponia en el final y se acuerda de mi vieja por una semana... A^100 tiene que ser la identidad, pero no porque es la unica que lo cumple como dije, sino porque los autovalores son {-1,1,1} y entonces D^100 es la identidad.

Hola!! Alguien planteo el 5?? Me trabe en la mitad!

(04-03-2013 04:24)Florr escribió:  Hola!! Alguien planteo el 5?? Me trabe en la mitad!

que yo recuerde era \[z^{3}+2-2i=0\] y no \[z^{3}-1-i=0\], pero bueno, quizas otro tema era asi (?) lo aclaro, porque como a mi me lo tomaron, z daba un numero mas lindo y no la porqueria que da con esto... lo resuelvo:

\[|z+i|\leq |z-1|\] --> \[|x+i(y+1)|\leq |(x-1)+iy|\] --> \[\sqrt{x^2+(y+1)^2}\leq \sqrt{(x-1)^2+y^2}\] --> \[x^2+y^2+2y+1\leq x^2-2x+1+y^2\] --> \[2y\leq-2x\] --> \[y\leq-x\]

\[z^3=1+i\] -->\[z=(1+i)^{1/3}\] --> potencia de un complejo: \[z^n=|z|^n.e^{i.\alpha.n}\] --> \[z=(\sqrt{1^2+1^2})^{1/3} e^{1/3.i.\alpha }\] Calculamos entonces \[\alpha \] --> \[Arctan(\frac{Im(z)}{Re(z)})= Arctan(\frac{1}{1})=\frac{\pi}{4}\] --> \[z=(\sqrt{1^2+1^2})^{1/3} e^{1/3.i.\pi/4}\] --> \[z=(\sqrt{1^2+1^2})^{1/3} e^{\pi/12.i}\] --> Identidad de Euler: \[e^{i\alpha }=cis \alpha =cos\alpha +isen\alpha \] ---> \[z=(\sqrt{1^2+1^2})^{1/3} (cos\frac{\pi}{12}+isen\frac{\pi}{12})\] --> \[z=1,12246 (0,9659+i0,2588)\] --> \[z=1,0842+0,2905i\]

ahi sacamos quien es z, pero la primera parte me quedo la region por debajo de la recta de ecuacion \[y=-x\] y la grafica de z es un vectorcito en el primer cuadrante, lo que la interseccion es vacia, ya que la region por debajo de esa recta toma la mitad del segundo y cuarto cuadrante y todo el tercer cuadrante, pero absolutamente nada del primero.

NOTA: como dije al principio, al menos a mi me tomaron \[z^{3}+2-2i=0\] y la grafica de z era un vectorcito en el segundo cuadrante que JUSTO coincidia con la grafica de la funcion, entonces la respuesta era ese. Ojala que te sirva y cualquier error por favor diganmelo

(04-03-2013 02:58)feder escribió:  bueno, me lo puse a hacer en serio, todo lo que dije es una boludez...

\[\begin{vmatrix}0-\lambda & 1 &2 \\ 1 & 0-\lambda & a\\ 0 & 0 & 1-\lambda\end{vmatrix}=0\] Lo resolvemos por 3ra fila que es lo mas conveniente, y nos queda: \[(1-\lambda)\begin{vmatrix}-\lambda &1 \\ 1 & -\lambda\end{vmatrix}=0\] --->\[(1-\lambda)(\lambda^2-1)=0\] ---> \[(1-\lambda)(\lambda-1)(\lambda+1)=0\] ---> Esto me quiere decir que CUALQUIERA sea el a, los autovalores son {-1,1,1}. Esto te puede llevar al error de decir: "bueno, la matriz D es:" \[D=\begin{pmatrix}-1 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{pmatrix}\] y entonces como 100 es una potencia par ---> \[D^{100}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{pmatrix}=I\] POR LO QUE ---> \[A^{100}=P.I.P^{-1} ---> A^{100}=P.P^{-1} ---> A^{100}=I\] lo que diriamos, "barbaro, nos dio que es la identidad, entonces cumple lo que pide el ejercicio y es verdadero".

y esto es un ERROR, porque los autovalores SÍ van a depender del valor de a, y un valor erroneo de a, puede llevar a que el autovalor 1 genere un solo autovector y estamos en la lona... por eso analizamos eso y tenemos: \[\lambda=1 ---> \begin{pmatrix}-1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=0\] la fila de los ceros se va, pero si se fijan, SOLAMENTE con \[a=-2\] las dos filas que nos quedan son L.D y pueden generar dos autovectores, lo que hace que \[P\] tenga inversa y valga la famosa igualdad. Esto hace que la respuesta sea FALSO, solo con \[a=-2\] se logra esa igualdad.

De hecho, si ponemos \[\begin{pmatrix}0 &1 &2 \\ 1& 0& a\\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}^{100}\] en el wolfram alpha, nos da que es igual a: \[\begin{pmatrix}1 &0 &50a+100 \\ 0 &1 &50a+100 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\] y no es ninguna casualidad que el valor que anula el \[50a+100\] sea \[-2\]

En fin, les dejo el link del wolfram para que corroboren esto ultimo que puse y nada, creo que ahora si esta bien este ejercicio un abrazo y ahora subo el de complejos !
http://www.wolframalpha.com/input/?i={{0...%2C1}}^100

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(04-03-2013 02:54)fedee90 escribió:  Si, ya se. Si fuese la identidad, corresponde lo que vos decís. Pero la matriz A en el ejercicio no es la Matriz identidad
Tambien fijate que si \[A^{100}.\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\] ... la matriz ^\[A^{100}\] no necesariamente tiene que ser la identidad.
Porque para \[A=\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}\] tambien verifica...

Yo creo, que para resolver el ejercicio hay que plantear que si b=1 entonces con a=-2 va a ser diagonalizable. Entonces sacamos los autovalores, los autovectores, armamos la matriz P y su inversa y calculamos
\[A=P^{-1}.D.P ightarrow A^{100}=P{-1}.D^{100}.P\] con\[A \approx D\]

mmm, creo que si o si tiene que ser la identidad, porque esa matriz que pones tiene determinante=0 y nunca podria ser A^100 por eso de que \[|A.B|=|A|.|B|\] entonces la identidad ME PARECE no estoy seguro, es la unica matriz no singular que lo cumple

EDIT: ahora que me fijo, el det(A)=-1, por lo que el det(A^100)=1, si bien la identidad parece ser la unica, despues de como 10 minutos encontre: \[\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\ 0& 1 &5 \\ -1 &1 &3 \end{pmatrix}\] cumple con lo que pide, y ademas tiene det=1 por lo que "podria" ser A^100. tenias razon, no es solo la identidad... pero planteamos lo que decis vos y lo que puse hace un rato aca en mi resolucion, y diagonalizas A para a=-2 que es para el unico caso que podes, y como D^100 es la identidad, porque los autovalores son {-1,1,1}; ya esta, A^100 tambien tiene que serlo. Asi que gracias por la correccion, quizas alguno me copiaba y lo ponia en el final y se acuerda de mi vieja por una semana... A^100 tiene que ser la identidad, pero no porque es la unica que lo cumple como dije, sino porque los autovalores son {-1,1,1} y entonces D^100 es la identidad.

Ahi está! Se caía de maduro la respuesta jajaja... si en el ej. anterior a tenia que valer -2 para que sea diagonalizable, era obvio que para que se cumpla lo otro, a no podía ser cualquiera jaja

A eso mismo me referia
Gracias feder por el 5!!

(04-03-2013 12:22)fedee90 escribió:  

(04-03-2013 02:58)feder escribió:  bueno, me lo puse a hacer en serio, todo lo que dije es una boludez...

\[\begin{vmatrix}0-\lambda & 1 &2 \\ 1 & 0-\lambda & a\\ 0 & 0 & 1-\lambda\end{vmatrix}=0\] Lo resolvemos por 3ra fila que es lo mas conveniente, y nos queda: \[(1-\lambda)\begin{vmatrix}-\lambda &1 \\ 1 & -\lambda\end{vmatrix}=0\] --->\[(1-\lambda)(\lambda^2-1)=0\] ---> \[(1-\lambda)(\lambda-1)(\lambda+1)=0\] ---> Esto me quiere decir que CUALQUIERA sea el a, los autovalores son {-1,1,1}. Esto te puede llevar al error de decir: "bueno, la matriz D es:" \[D=\begin{pmatrix}-1 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{pmatrix}\] y entonces como 100 es una potencia par ---> \[D^{100}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{pmatrix}=I\] POR LO QUE ---> \[A^{100}=P.I.P^{-1} ---> A^{100}=P.P^{-1} ---> A^{100}=I\] lo que diriamos, "barbaro, nos dio que es la identidad, entonces cumple lo que pide el ejercicio y es verdadero".

y esto es un ERROR, porque los autovalores SÍ van a depender del valor de a, y un valor erroneo de a, puede llevar a que el autovalor 1 genere un solo autovector y estamos en la lona... por eso analizamos eso y tenemos: \[\lambda=1 ---> \begin{pmatrix}-1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=0\] la fila de los ceros se va, pero si se fijan, SOLAMENTE con \[a=-2\] las dos filas que nos quedan son L.D y pueden generar dos autovectores, lo que hace que \[P\] tenga inversa y valga la famosa igualdad. Esto hace que la respuesta sea FALSO, solo con \[a=-2\] se logra esa igualdad.

De hecho, si ponemos \[\begin{pmatrix}0 &1 &2 \\ 1& 0& a\\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}^{100}\] en el wolfram alpha, nos da que es igual a: \[\begin{pmatrix}1 &0 &50a+100 \\ 0 &1 &50a+100 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\] y no es ninguna casualidad que el valor que anula el \[50a+100\] sea \[-2\]

En fin, les dejo el link del wolfram para que corroboren esto ultimo que puse y nada, creo que ahora si esta bien este ejercicio un abrazo y ahora subo el de complejos !
http://www.wolframalpha.com/input/?i={{0...%2C1}}^100

---

(04-03-2013 02:54)fedee90 escribió:  Si, ya se. Si fuese la identidad, corresponde lo que vos decís. Pero la matriz A en el ejercicio no es la Matriz identidad
Tambien fijate que si \[A^{100}.\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\] ... la matriz ^\[A^{100}\] no necesariamente tiene que ser la identidad.
Porque para \[A=\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}\] tambien verifica...

Yo creo, que para resolver el ejercicio hay que plantear que si b=1 entonces con a=-2 va a ser diagonalizable. Entonces sacamos los autovalores, los autovectores, armamos la matriz P y su inversa y calculamos
\[A=P^{-1}.D.P ightarrow A^{100}=P{-1}.D^{100}.P\] con\[A \approx D\]

mmm, creo que si o si tiene que ser la identidad, porque esa matriz que pones tiene determinante=0 y nunca podria ser A^100 por eso de que \[|A.B|=|A|.|B|\] entonces la identidad ME PARECE no estoy seguro, es la unica matriz no singular que lo cumple

EDIT: ahora que me fijo, el det(A)=-1, por lo que el det(A^100)=1, si bien la identidad parece ser la unica, despues de como 10 minutos encontre: \[\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\ 0& 1 &5 \\ -1 &1 &3 \end{pmatrix}\] cumple con lo que pide, y ademas tiene det=1 por lo que "podria" ser A^100. tenias razon, no es solo la identidad... pero planteamos lo que decis vos y lo que puse hace un rato aca en mi resolucion, y diagonalizas A para a=-2 que es para el unico caso que podes, y como D^100 es la identidad, porque los autovalores son {-1,1,1}; ya esta, A^100 tambien tiene que serlo. Asi que gracias por la correccion, quizas alguno me copiaba y lo ponia en el final y se acuerda de mi vieja por una semana... A^100 tiene que ser la identidad, pero no porque es la unica que lo cumple como dije, sino porque los autovalores son {-1,1,1} y entonces D^100 es la identidad.

Ahi está! Se caía de maduro la respuesta jajaja... si en el ej. anterior a tenia que valer -2 para que sea diagonalizable, era obvio que para que se cumpla lo otro, a no podía ser cualquiera jaja

si, ahora que lo miro parece bastante logico y facil