Es un recuperatorio del primer parcial, no se como encarar el practico 3 y el 4 no entiendo bien como armar la composicion, se que tengo que calcuar el gradiente de h para despues aproximarlo con la formula del diferencial, pero no se bien como armarlo

P3) te piden los extremos sobre una superficie compacta , si analizas en interior no existen candidatos a extremos , entonces nos vamos a la frontera , y lo hacemos por los multiplicadores de lagrange entonces defino

\[H(x,y,z,\lambda)=x+y+z+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)\]

las parciales seran

\[\\H'_x=1+2x\lambda \\H'_y=1+2y\lambda\\H'_z=1+2z\lambda\\H'_{\lambda}=x^2+y^2+z^2-1 \]

igualas a 0 para encontrar los candidatos a extremos y obtenes que

\[x=y=z\pm\frac{1}{\sqrt 3}\]

para saber cual es el minimo o maximo hay que reemplazar en la funcion objetivo

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P4) Te piden la aproximacion de \[H=g(G(A))\] en tu ejercicio \[A=(-1,1)\] luego por definicion

\[H(x_0, y_0)\approx z=g(G(A))+\nabla H(A)(\bar X-\bar A)\]

Necesitas hallar g(x,y) , para eso te dan esa funcion de forma implicita , tenes dos caminos para hallar g, o bien utilizas el teorema de couchy dini , o bien llamas

\[f(x,y,z)=xe^z+\frac{2}{\pi}\cos \left ( \frac{\pi}{2}y \right )-2yz\]

podes aproximar dicha funcion por su aproximacion de primer orden (plano tangente) hallando el gradiente de la misma y evaluando en el (0,1,0), si no me equivoque derivando

\[\nabla f(0,1,0)=(1,-1,-2)\]

con algo de algebra

\[z=g(x,y)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\]

y de ahi aplicar la definicion de composicion de funciones

\[\nabla H(A)=\nabla g(G(A))\cdot D G(A)\]


\[\nabla H(-1,1)=\nabla g(G(-1,1))\cdot DG(-1,1)=\nabla g(0,1)\cdot DG(-1,1) \]

DG matriz jacobiana de G, luego

\[\nabla H(-1,1)=\left ( \frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right )\cdot \begin{pmatrix}-2 & 3\\\\ 1 & -1\end{pmatrix}=\left ( -\frac{3}{2},2 \right )\]

\[g(G(-1,1))=g(0,1)=0\]

finalmente para calcular la aproximacion tenes que utilizar

\[H(x,y)=-\frac{3}{2}(x+1)+2(y-1)\]

Saga, ese teorema de lagrange, todavía no lo vimos... no hay otra forma de realizarlo?

(11-08-2014 02:29)drrwïn escribió:  Saga, ese teorema de lagrange, todavía no lo vimos... no hay otra forma de realizarlo?

Si la hay, raro que no lo hayan visto , por lo general se da cuando se ve el tema de extremos , pero bueno, como son extremos condicionados , se pudo comprobar que en el interior de R no hay candidatos posibles ,

entonces trabajo en la frontera y despejo

\[z=\pm\sqrt{1-x^2-y^2}\]

si trabajo con la parte positiva entonces

\[f(x,y)=x+y+\sqrt{1-x^2-y^2}\]

hay que calcular el gradiente de f e igualar las derivadas a 0 , luego de las cuentas el sistema a resolver es

\[\\2x^2+y^2=1\\ x^2+2y^2=1\]

y de ahi continuar como ya sabes, con la parte negativa , en este ejercicio en particular te queda lo mismo