El ejercicio pide hallar la familia de curvas ortogonales a la dada, siendo la ecuacion dada \[y = Ce^{x}\]

el tema es que no llego al resultado de la guia, he visto unos resuletos por otra persona, pero hace una rerivada que es mas complicada por el despeje que hizo pero llega al resultado, y no veo porque mi resolucion esta mal. Hice lo siguiente:

derivo la ecuacion dada:

\[y' = Ce^{x}\]

como tiene que ser la familia de curvas ortogonales hago el reciproco de la pendiente e integro:

\[-\frac{1}{y'} = Ce^{x}\]

\[-\frac{dx}{dy} = Ce^{x}\]

\[-\frac{1}{C}\int \frac{1}{e^{x}}=\int dy\]

\[-\frac{1}{Ce^{x}}+K = - y\]

Asumiendo que K es negativo (al ser cosntante tomo cualquier valor que se me ocurra para acomodar la ecuacion):

\[\frac{1}{Ce^{x}}+K = y\]

Y hasta ahi es donde llego yo, pero en la guia da como resultado: \[2x+y^{2}=K\]

Lo que vi en otras resoluciones fue que en lugar de derivar directamente despejo las variables y dejo expresada la ecuacion: \[\frac{e^{x}}{y} = \frac{1}{C}\] y ahi es dodne deriva.

Cual es el problema de mi resolucion?

Primero que nada, copiaste mal el ejercicio. Según me fije es:

\[y = C\, e^{x}\]

Y lo primero que tenes que hacer es sacar la constante para poder resolverlo y aplicar la trayectoria ortogonal. Acá derivando una vez te das cuenta como es el reemplazo.

No te da porque nunca hallaste la primera ecuación diferencial. Para hallar la edo tenés que eliminar a la constante C, en este caso lo más fácil sería hacer y'/y = C e^x/C e^x = 1, resultando obviamente en y'=y, que es la edo de la ecuación dada, y de ahí si podés hallar la ortogonal que sería y'=-1/y, y la resolvés como cualquier ecuación a variables separables, te queda y dy = -dx, integrás y te queda y^2/2=-x+K, acomodás y renombrás la constante K y ahí si te quedaría 2x+y^2=K.
Saludos!

(18-04-2014 00:35)Diego Pedro escribió:  Primero que nada, copiaste mal el ejercicio. Según me fije es:

\[y = C\, e^{x}\]

Y lo primero que tenes que hacer es sacar la constante para poder resolverlo y aplicar la trayectoria ortogonal. Acá derivando una vez te das cuenta como es el reemplazo.

lo copie bien, fiajte el primer renglon que escribo.

Joya! ahi entendi porque no em daba. Muchas gracias a ambos por la ayuda!!!