Considere \[h = f o \bar{g} \] con \[\bar{g}(x) = (e^{x} , e^{x^{2}})\], \[f (u,v)\] definida por \[y - 1 + \ln (yuv) = 0\]. Demuestre que \[y = h(x)\] con \[h(0)=1\] satisface la ecuación \[(1 + y){y}' + (1 + 2x)y=0.\]

La verdad, no supe mucho que hacer. Yo pense que por enunciado para sacar datos. x=0... en base a eso g(0) = (1,1).... y f(1,1)---> y*ln(y)=1 <=> y=1

Luego no se que hacer.

De la funcion implicita que tenes ahi, encontra su aproximacion de primer orden (los valores que hallaste de u v y te van a servir para poder hacerlo), ya sea por couchi dini o por el gradiente como mas te convenga, una vez que tengas la aproximacion lo unico que tenes que hacer es la composicion , finalmente es solo verificar si esa solucion particular que encontras verifica la ED, lo entendes ?

Gracias Saga por responder siempre! A ver, te cuento un poco lo que hice y vos me diras si lo plantie bien:

x=0 Entonces:\[g_{(0)}=(1,1)\] Entonces: \[f_{(1,1)}=>y+ln(y)=1 <=>y=1\] (Con esta ecuacion se comprobaria lo del enunciado.

\[g_{(0)}^{'}(1,0)\]

Ahora bien. \[h_{(0)}^{`}=y'\]

\[\bigtriangledown h_{(0)}=\bigtriangledown f_{(1,1)}*g_{(0)}^{'}\] no?

\[f_{(1,1)_u}^{'}=\frac{F'_u}{F'_y}= -1/2\]

\[f_{(1,1)_v}^{'}=\frac{F'_v}{F'_y}= -1/2\]

Quedando: \[h_{(0)}^{'}=y'=(-1/2;-1/2)*(1,0)=-1/2\]

Bueno ahora reemplazando los datos en la ecuación dada llego a la igualdad de 0=0.

Esta bien el procedimiento o me dio de casualidad?

No se me habia ocurrido asi pero puede andar .. en realidad vos tenes que

\[y=4-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}v\]

la composicion da

\[y=4-\frac{1}{2}e^x-\frac{1}{2}e^{x^2}\]

solucion particular que deberia verificar la ED que te dan ahi

de donde sacaste la primera ecuacion de y? no logro ver de donde sale... y=4-1/2u-1/2v

sale de la funcion implicita observa que te dicen que y=h(x) , como no conocemos la funcion explicita de entonces utilizamos una aproximacion a la misma , recorda que una aproximacion de primer orden en el espacio es la ecuacion de un plano , en particular tangente a la superficie, por eso te decia que ya sea por couchy dini o por el gradiente lo podes obtener con los datos que dedujiste antes , YO en particular siempre uso el gradiente, a no ser que explicitamente el enunciado me diga "utilize couchy dini" igualmente esta a criterio de cada uno ...

Despues solo es hacer la composicion con g y obtenes la funcion y que puse antes.

Ahora si lo entendes ??

pd: te salio el ejercicio que preguntaste el otro dia ??

joya, gracias!

sisi, ya termine la practica con este ejercicio. Saludos!