Este ejercicio no se como resolverlo la verdad trate perono puedo. Alguna tiene idea? El p3, gracias!

   

Me piden el flujo a travez del paraboloide , lo parametrizo y defino la funcion vectorial

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,x^2+y^2)\]

por definicion

\[\varphi=\iint f ndS\]

n es el producto vectorial de los elementales de g

\[g'_x\times g'_y=(-2x,-2y,1)\]

entrante a mi superficie , pero la convencion nos pide que tomemos normales salientes entonces

\[g'_y\times g'_x=(2x,2y,-1)\]

saliente , luego

\[\\\varphi=\iint f(g(x,y))n dS=\iint (x,y,2(x^2+y^2)-y).(2x,2y,-1)dydx=\iint y dydx\]

para los limites , todas las restricciones deben ir en funcion de g , entonces

\[x^2+y^2\leq 6 \quad \wedge\quad y\geq x^2 \]

conviene trabajarlo en cartesianas para facilitar cuentas, al estar en el primer octante

\[y\geq \sqrt{6-x^2} \quad \wedge\quad y\geq x^2 \to x^2\leq y\leq \sqrt{6-x^2}\]

por transitividad

\[ x^2\leq \sqrt{6-x^2}\to (x^2-2)(x^2+3)\leq 0\]

necesariamente para verificar la desigualdad

\[x^2-2\leq 0\to x\leq \sqrt{2}\]

finalmente

\[\varphi=\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{x^2}^{\sqrt{6-x^2}}ydydx=\frac{34}{15}\sqrt{2}\]

En este ejercicio, por qué no puede usarse el teorema de la divergencia? Para poder usarlo, el paraboloide debería venir cerrado por definición, es decir algo así?

\[x^2+y^2\leq z\leq 6\]

Tengo una ensalada de conceptos y ejercicios que vi y resolví. Típico del periodo pre-final.

La superficie es abierta, poder usar divergencia podes pero acordate de cerrarla y despues restarle lo que le agregues


Pero a eso que pusiste faltar agregarle los planos coordenados para que esta limitada y cerrada al primer octante fernando