Dadas \[\alpha ,\beta : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \] tales que \[ \alpha(x)=sen(7x)\] y \[ \beta = \sqrt{x^{2}+x+2}-\sqrt{2}\]

a) Verifique que admiten al menos un valor de x para el cual son infinitesimos simultaneos
b) Compárelos para el valor de x hallado


Sinceramente, no tengo la mas palida de como hacerlo... Se que para que sean simultaneos, ambos me tienen que dar 0.. pero no se como aplicarlo..

Ayudaa, ya me lo tomaron dos veces en parcial y en el recuperatorio

Para x = 0 son infinitesimos simultaneos y despues calculas el limite del cociente de las dos funciones para x tendiendo a 0.

que naba... no me habia dado cuenta de un 2... Ok, me quedo \[\frac{0}{0} \] al hacer la division... el tema es que me sigue quedando indeterminado... mi procedimiento fue el siguiente... capaz no tenia que racionalizar, pero no le vi otra forma

\[\frac{sen(7x)}{\sqrt{x^{2}+x+2}-\sqrt{2}} = \frac{sen(7x)}{\sqrt{x^{2}+x+2}-\sqrt{2}} \cdot \frac{{\sqrt{x^{2}+x+2}+\sqrt{2}}}{{\sqrt{x^{2}+x+2}+\sqrt{2}}}\]



\[\frac{sen(7x)\cdot \sqrt{x^{2}+x+2}+ sen(7x)\cdot \sqrt{2}}{(\sqrt{x^{2}+x+2})^{2}-\sqrt{2}\cdot \sqrt{x^{2}+x+2}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{x^{2}+x+2}-(\sqrt{2})^{2}} \]



simplificando y haciendo las demas cuentas, el denominador lo pude achicar.. pero arriba lo que hice fue sacar factor comun, que no se si esta bien... pero aun asi me sigue dando \[\frac{0}{0} \]



\[\frac{sen(7x)\cdot \left [ (\sqrt{x^{2}+x+2})+\sqrt{2} \right ]}{x^{2}+x}\]


puede ser que no sean comparables en ese punto?

Fijate si cumple las condiciones para aplicar L'Hopital.

Llegaste bien:

\[\frac{sen(7x).(\sqrt{x^{2}+x+2}+\sqrt{2})}{x^{2}+x}\]

Ahora hace

\[\frac{sen(7x).7.(\sqrt{x^{2}+x+2}+\sqrt{2})}{7x.(x+1)}\]

Entonces el \[\frac{sen(7x)}{7x}\] se te elimina por ser infinitésimos equivalentes en 0

y te queda

\[\frac{7.(\sqrt{x^{2}+x+2}+\sqrt{2})}{x+1}\]

De ahí podes calcular los límites con más tranquilidad.

pero multiplicaste por 7 arriba y abajo? eso se puede para poder simplificar?

si hago eso, despues me queda \[\frac{14\sqrt{2}}{1}\], puede quedar asi el resultado?

Se hace para simplificar el sen(x)/x siempre que el límite tienda a 0. Y sí, se puede hacer... y el resultado es el que diste.

Genial, gracias!!!