Tengo el siguiente ejercicio y no se si esta bien o si me faltan herramientas para llegar al resultado, y como se viene la noche necesito que me tiren alguna pista :


Me dan la siguiente parametrización:

\[[ t*cos(t),t*sen(t) , 2t) ]\]

me pide la ecuacion implicita que me da (y espero que sea) :

\[x^2+y^2=(\frac{z}{2})^2\]

Luego me pide la longitud de la curva en 0<t<2*Pi

para eso, tengo que calcular la norma de la derivada de la trayectoria :

\[L = \int_{0}^{2*Pi}\left \| \dot{C} \right \|\]

Esta norma me da

\[\sqrt{ [cos(t)-t*sen(t)]^2+[sen(t)+t*cos(t)]^2+ 2^2}\]

Trabajando los terminos me queda:

\[\int_{0}^{2*Pi}\sqrt{cos^2(t)+sen^2(t)-2*t*cos(t)*sen(t)+2*t*cos(t)*sen(t)+t^2*cos^2(t)*sen^2(t)+2^2}\]


\[\int_{0}^{2*Pi}\sqrt{1+t^2*+4}\]

Ahora, no se si estoy pifiando mal, o esa integral es realmente molesta. ooo, hay algo que no estoy tomando en cuenta a la hora de evaluar la parametrizacion.

\[\int_{0}^{2*Pi}\sqrt{5+t^2*}\]



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Otra que tengo es (solo para verificar si esta bien hecho):

\[[ cos(t),2*Pi*t , sen(t) ]\]

No supe como parametrizarla (se me anula uno de los terminos y me queda fruta).

Luego la norma de la curva:

\[\int_{0}^{2*Pi} \sqrt{ [-sen(t)]^2+[2*Pi]^2+[cos(t)]^2} dt = \sqrt{ 1+[2*Pi]^2} (2*Pi)\]

Ese ultimo valor es el largo de la curva.

Te dejo lo que me dio el primero a ver si te da con el resultado !

   

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Me parece que me falto hacer la derivada

me parece que si picaron

la caga esa integral (si es que esta bien planteado lo que hice)

A fir le falto derivar la curva parametrizada , y sho edito el mensaje porque me mande un moco feo lo que vos hiciste esta perfecto Maik, la integral a evaluar es esa justamente la que pusiste ahi, ahora no podes usar tablas ???

no me fije en eso, pero me parecio horrible.

fui al wolfram y me tiro

\[\frac{1}{2}(x*\sqrt{5+x^2}+5 ArcSenh(\frac{x}{\sqrt{5}}))\]

solo de orgulloso dejaria el ejercicio hasta ahi y sigo con los otros

pero me parecio MUY raro que en un parcial te metan un ejercicio que te llega a ese punto, medio de garca.

Gracias Saga

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y como me quedo la duda. como se parametriza la 2da?

si es raro... en un rato mas (en mi descanso lo veo bien) ... la otra no entiendo que tnees que hacer... ahi tenes una curva expresada como una funcion vectorial... cuando decis "no se como parametrizarla" me imagino que queres deshacer la ecuacion vectorial, y expresarla como

x=cos t

y=2pi t

z=sen t

era eso lo que querias??

perdon, expresarla de forma implicita.

Ax+By+Cz=D

o alguna expresion similar.

Volvi ..... bueno revisando con tranquilidad el primer ejercicio no hay vuelta... es como planteas la integral.. o sea que irremediablemente

\[L=\int_C ||g'(t)||dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{t^2+5}dt\]

usando identidades hiperbólicas... no es tan compleja de resolver "a mano" si es que no te dejasen usar tablas Maik

la segunda, vos tenes que

\[\\x=\cos t\\ y=2\pi t\\z=\sin t\]

si despejo t de la primera

\[\arccos x=t \]

entonces la curva esta dada por

\[C: \left\{\begin{matrix}y=2\pi\arccos x \\ x^2+z^2=1\end{matrix}\right.\]

la longitud de esta curva esta bien