Hola!
Alguien me podría ayudar con el siguiente ejercicio?
El gráfico de la función \[f(x)= 2x^{5} + 3x - 5e^{-2x}\] corta al eje x una sola vez. Verdadero o falso?
Muchas gracias por su ayuda!

1. Tu función es continua en su dominio natural por ser suma de continuas.
2. f(0).f(1)>0. Por lo tanto, por el teorema de Bolzano, existe un número c entre (0,1) que cumple: f©=0.
3. Luego derivando, queda, 8x^4+3+10e^-2x.
4. Como esa función es mayor que 0 para cualquier R, y particularmente, para cualquier x comprendido entre (0,1), la función es estrictamente creciente en su dominio, y por ende, pasa una sola vez por el eje x (tiene una sola raíz)

Perfecto, lo único que no me quedó claro es por qué pusiste que f(0) . f(1) > 0. A mí me parece que es f(0) . f(1) < 0, por eso podemos aplicar Bolzano. Es así?

f(0)=-5
f(1)=nosequemayorque0

f(0)*f(1)<0 estas en lo correcto con lo último. Pero Bolzano dice que sea F una función definida en un conjunto [a,b], si F(a)<0 y F(b)>0 entonces existe c que pertenece a [a,b] tal que F©=0. Luego el tema de derivar te indica que la función es estrictamente creciente o decreciente, y toda esa información que es necesaria para corroborar que cruce sólo UNA VEZ el eje de abscisas.

Multiplicar F(a) y F(b) funciona, perfecto, pero en un parcial los nervios te traicionan...

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Corrección: F contínua en [a,b] Y también puede darse que F(a)>0 y F(b)<0

(10-07-2014 21:07)oreo_dorada escribió:  Perfecto, lo único que no me quedó claro es por qué pusiste que f(0) . f(1) > 0. A mí me parece que es f(0) . f(1) < 0, por eso podemos aplicar Bolzano. Es así?

Sí, me confundí. Esto de f(a). f(b) viene de que si un producto de dos números es menor que 0, tienen distinto signo. Y como es continua en [a, b], la función pasa por todos los valores entre f(a) y f(b).