Buenas noches. Agradecería ayuda con este problema.

Calcular el área de la región plana mediante integral doble; no aplicar simetría:

D: conjunto donde son positivas las componentes de \[\bar{f}(x,y)=(4-x^2-y^2,2-x-y^2)\]

De la primera componente, llegué a que es una circunferencia de radio 2.

De la segunda componente me quedó \[y<\sqrt{2-x}\]

Intersectando ambas ecuaciones, corta en x=-1/2 y x=2.

Pero cuando grafico, me queda... como explicarlo... parte de la circunferencia con la zona debajo de la raiz, y una pequeña parte de la circunferencia (que va de x=-2 a x=-1/2) que no se como integrarla.

Gracias.

por un lado

\[4-x^2-y^2\geq 0\]
\[x^2+y^2\leq 4\] (curva roja)

por el otro

\[2-x-y^2\geq 0\]
\[x+y^2\leq 2\](curva azul)

el conjunto de integracion seria el mismo que el de la raiz.


   

Cómo lo tomarías?

yo plantee: \[2.(\int_{-2}^{-1/2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}dy.dx + \int_{-1/2}^{2}\int_{0}^{\sqrt{2-x}}dy.dx)\]

está mal no?

edit. Me parece que es mejor tomarlo desde el eje Y

(28-05-2013 22:31)Maik escribió:  por un lado

\[4-x^2-y^2\geq 0\]
\[x^2+y^2\leq 4\] (curva roja)

por el otro

\[2-x-y^2\geq 0\]
\[x+y^2\leq 2\](curva azul)

el conjunto de integracion seria el mismo que el de la raiz.

buen, tenes despues que igualar las dos inecuaciones para encontrar en que punto se intersectan ambas:

\[y=\sqrt{2-x}\]

reemplazas en

\[4-x^2-y^2\geq 0\] (por un tema de comodidad, podria haber sido al reves pero a simple vista te das cuenta que es mas tedioso)

\[x^2 - (\sqrt{2-x})^2 <4\]

\[x^2 - |2-x| <4\]

\[x^2 +2-x <4\]

\[x^2 -x -2 =0\]


como raiz sacas -1 y 2. si graficas la funcion te da que en esos puntos las funciones son iguales.

los periodos de integracion quedan definidos por los puntos

\[(-2, 0) , (-1, \sqrt{3}), (\sqrt{3},0)\] (ojo, ese raiz de 3 verificalo)

luego depende de que tomes como funcion techo o piso.

---

las integrales asi a ojo te diria que quedan

D1 = (-2, -1)dx (0,raiz de 3) dy.

y la otra

D2= (-1, 2)dx (0, raiz de 3) dy.

verificalo por las dudas

como bien dijiste es mejor tomar el area en funcion de x y no de y

las curvas son en entonces

\[x=2-y^2\quad x=-\sqrt{4-y^2}\]

la interseccion da

\[|x|=\sqrt{3}\]

el area sera

\[A=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{2-y^2}dxdy=9.38494\]

verificalo con wolfram

(29-05-2013 01:29)Saga escribió:  como bien dijiste es mejor tomar el area en funcion de x y no de y

las curvas son en entonces

\[x=2-y^2\quad x=-\sqrt{4-y^2}\]

la interseccion da

\[|x|=\sqrt{3}\]

el area sera

\[A=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{2-y^2}dxdy=9.38494\]

verificalo con wolfram

yo pondria

\[A=\int_{-3}^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{2-y^2}dxdy\]

Te estas confundiendo maik.. sera porque tenes sueño, pensa lo que me dijiste tranquilo y lo charlamos mañana

otra cosa..

Maik escribió:\[x^2 - (\sqrt{2-x})^2 <4\]

\[x^2 - |2-x| <4\]

\[x^2 +2-x <4\]

que hiciste ahi ??? aparece un valor absoluto ?? para que ?? despues cambiaste el signo... la verdad me perdiste

edit: fruta fruta, ahi me di cuenta. haceme tuyo saga

(29-05-2013 08:41)Maik escribió:  edit: fruta fruta, ahi me di cuenta. haceme tuyo saga

jajaj justo te estaba respondiendo cuando vi el edit en tu mensaje... bueno solucionada tu duda entonces

y no ya estoy comprometido

Una pregunta: por que el limite de integracion inferior de la 2da integral es -(4-y^2)^(1/2) me refiero a por que el menos adelante?

(26-02-2014 12:19)ezzeconte escribió:  Una pregunta: por que el limite de integracion inferior de la 2da integral es -(4-y^2)^(1/2) me refiero a por que el menos adelante?

porque solo se ve involucrada para el calculo , la parte negativa de la circunferencia, recorda que estamos tomando los limites en funcion de y, no de x