Saga, tambien tengo este otro ejercicio con dudas:

Calcular el area de la porcion de \[x^{2}+y^{2}=3z^{2}\], interior a \[x^{2}+y^{2}=4y\] con \[z\geqslant \]0

Lo que hice fue parametrizar x= r cos O, y= r sen O, como es interior a 4y me quedo r=4 sen O, entonces r va desde 0 a 4 sen O, y O va desde 0 a 2 pi.

\[\int_{0}^{2\pi}\delta \sigma \int_{0}^{4sen\sigma }\frac{\sqrt{4r^{2}+\frac{36}{\sqrt{3}}r^{2}}}{\frac{6}{\sqrt{3}}r}\]

\[\int_{0}^{2\pi}(\frac{2\sqrt{3}}{3}*4sen\sigma )\delta \sigma \]

Llegando a que el area es 0.

Esta bien?

ahora si..... la verdad no entendi muy bien lo que hiciste , pero bueno , esta bien salvo que tenes mal el limite de integracion en sigma brianle no va hasta 2pi solo hasta pi

si lo haces parametrizando defino l la funcion vectorial g de esa superficie es

\[g:R^2\to R^3/g(r,t)=(\sqrt{3}z\cos t,\sqrt{3}z\sin t,z)\]

de donde una vez hechas las cuentas los de los elementales

\[A=\displaystyle\iint \sqrt{12}zdzdt\]

los limites salen de la funcion g... entonces

\[A=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\frac{2}{3}\sqrt{3}\sin t}\sqrt{12}zdzdt=\dfrac{8\pi}{\sqrt{3}}\]

Ahora bien, si quiero usar proyecciones, en particular sobre el plano xy ... defino

\[g(x,y,z)=x^2+y^2-3.z^2\]

la normal será (hechas las cuentas)

\[n=\dfrac{||\nabla g||}{|g'_z|}=\dfrac{2}{3}.\sqrt{3}\]

si tomo como proyección la curva que genera el cilíndro sobre el mismo y le aplico polares la integral de área sera

\[A=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{4\sin t}\dfrac{2}{3}.\sqrt{3}rdrdt=\dfrac{8\pi}{\sqrt{3}}\]

ahi tenes las dos formas o parametrizando o por proyecciones

no se que le pasa al latex brunodiaz

Termina dando 0 igual, pero por que va solo hasta pi??

No es cero ... cuando el latex se arregle (espero) veas las dos formas de resolucion que hice

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(06-02-2014 12:28)brianle escribió:  Termina dando 0 igual, pero por que va solo hasta pi??

Porque no estas tomando como centro del cilindro el (0,2) vos lo estas considerando en el origen con esa forma de tomar las polares .... ahora si consideras como centro el (0,2) ahi si va hasta 2pi

pero cambiaria el limite en r

Ahi se arreglo el latex brianle entonces si completas cuadrados el cilindro queda como

\[x^2+(y-2)^2=4\]

tomando polares en este centro

\[g:R^2\to R^2/g(r,\theta)=(r\cos\theta,2+r\sin\theta)\]

cambia el limite en r... tambien cambiaria el integrando, pero en este caso como es una constante no lo afecta entonces

\[A=\frac{2}{3}\sqrt{3}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}rdrd\theta=\frac{2}{3}\sqrt{3}\mbox{area del circulo}=\frac{8\pi}{\sqrt{3}}\]