Ya que estamos todos con AM2...

Es un ejercicio de final (aunque estoy preparando el recuperatorio del 2do parcial).




El dominio lo puedo sacar pero despues se me complico mucho para hacer los intervalos de integracion, alguna idea?

Con polares sale algo bastante razonable creo yo....

El dominio de la primera función es \[x^{^{2}}+z^{^{2}} < 4 \]

El dominio de la segunda función es \[y \geq x^{^{2}} \]

Y por último el dominio de la tercera función es \[y \leq 4 \]

Siendo \[x = \rho \cos \varphi \] y \[z = \rho \sin \varphi \]

Esto hace que \[\rho ^2 \cos ^2 \leq y \leq 4\]

\[0 \leq \rho \leq 2\] y \[0 \leq \varphi \leq 2\pi \]

Y bueno... El jacobiano que es \[\rho \]

¿Tiene sentido?.

(10-12-2011 22:54)Aivan escribió:  Esto hace que \[\rho ^2 \cos ^2 \leq y \leq 4\]

\[\boxed{ 0 \leq \rho \leq 2 }\] y \[\boxed{ 0 \leq \varphi \leq 2\pi }\]

ok tiene sentido revisa bien los limites de integracion de \[\rho\quad \varphi\], mira este post http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-am2...on-t-rotor te puede aclarar un poco el panorama men # 14

saludos

Pufffffffffffffffffff... Tire cualquiera, jajajajaj... Necesito sí o sí hacerme un dibujo para ver para que onda los límites. Ahora me leo el post, gracias Saga .

ADVERTENCIA: LO QUE ESTAN A PUNTO DE VER NO ESTA BASADO EN FUENTES CONFIABLES, SINO EN PURO CHAMUYO PROPIO


por suerte abri el paraguas, mande cualquiera! No me deja borrar asi que sigo intentando en un comentario mas abajo!

estem sentey....... ehh ..... mmmmm a ver si podemos aclarar algo para emppezar confundiste el cambio de coordenadas lo tenias que hacer sobre xz y vos lo estas haciendo sobre xy jeje

el planteo de aivan esta correcto salvo por los límites del \[\rho=r\quad \varphi=t\] fijate el planteo que hizo el hasta aca

\[r^2\cos^2t<y<4\]

esta correcto ese es el limite para y ahora falta para r y t, si leiste mis post anteriores tenes un caso 1) "situacion ideal" intentalo

El dominio de la primera función es \[x^{^{2}}+z^{^{2}} < 4 \]

El dominio de la segunda función es \[y \geq x^{^{2}} \]

Y por último el dominio de la tercera función es \[y \leq 4 \]

Siendo \[x = r \cos t\]

\[y=y\]

\[z = r \sin t\]

Esto hace que \[r^2 \cos ^2 t\leq y \leq 4\]


A ver...

Por transitividad:

\[r^2 \cos ^2 t\leq 4\]

Hago raiz cuadrada y meto el modulo y lo separo...

\[-2 \leq r \cos t \leq 2\]

separo en las 2 partes:

\[-2 \leq r \cos t\]

y

\[ r \cos t \leq 2\]

Ahí morí

\[\bar{f}(x,y,z)=(ln|4-x^2-z^2|,\sqrt{y-x^2},\sqrt{4-y})\]

\[x^2+z^2 \geq 4\]

\[ x^2 \leq y \leq 4\]

Pasando a coordenadas cilíndricas:

\[0 \leq r \leq 2\]

\[0 \leq t \leq \pi\]

Creo que lo más importante es saber de donde salieron los límites del ángulo (que me corrija Saga si está mal).

\[x^2=4\]
\[r^2cos^2t=4\]
\[2^2cos^2t=4\]
\[4cos^2t=4\]
\[cos^2t=1\]
\[cost=1\]

Posibles resultados: \[t=0,t=\pi\]


\[\int^{\pi}_{0} \int^{2}_{0} \int^{4}_{r^2cos^2t} r dydrdt\]

Pero de donde salió que ???

seguro es una pelotudez pero no me doy cuenta, perdon que siga rompiendo con esto!


EDIT: Entendí, pero no quedaría r entre -2 y 2????

Osea:



Si reemplazo, me queda que

\[r^{2}sen^{2}t+r^{2}cos^{2}t \leq 4\]

y queda que

\[\left | r \right | \leq 2\]

no??

A vos te referís de dónde salen los límites del radio?

\[x=rcost\]
\[z=rsent\]

\[x^2+z^2=4\]
\[r^2cos^2t+r^2sen^2t=4\]
\[r^2=4\]
\[r=2\]
Yo pensé que no entendías el del ángulo, para el del ángulo leete ese enlace que paso Saga con su explicación... y terminás siendo un experto en hallar los límites del ángulo analíticamente, o al menos te confundís en el 50% menos.

Claro, pero el signo no es un = , es menor o igual, y no hay que meter modulo ahi? No puede arrancar de 0 porque sí

Ahi en el post anterior lo puse...

(11-12-2011 00:55)sentey escribió:  \[\left | r \right | \leq 2\]

no??

Sí, y no. El radio es una medida, nunca puede ser negativo. Por eso varía entre 0 y 2.

(11-12-2011 01:01)sentey escribió:  Claro, pero el signo no es un = , es menor o igual...

Justamente lo que tenés que hacer al hallar límites es igualar los límites que tenés como dato.

Bueno hasta aqui llego mi cerebro a la 1 am!! Mañana seguire intentando gracias saga y matyary creo que voy entendiendo de a poco!

En realidad me expresé mal, vos a la figura (en este caso a la circunferencia) la recorrés de centro a borde barriendo cierta región (límites del ángulo). Y la distancia del centro al borde es el radio, 2.

(11-12-2011 01:05)sentey escribió:  Bueno hasta aqui llego mi cerebro a la 1 am!! Mañana seguire intentando gracias saga y matyary creo que voy entendiendo de a poco!

Dale mañana seguimos, si querés subí un par de ejercicios que tengas dudas y los miramos. Yo estoy en la misma Jaja

Yo lo terminé sacando sin polares por que me quedó una duda que no pude justificar...

\[x = \rho \sin \phi\]
\[z = \rho \cos \phi\]

Por \[x^{^{2}}+z^{^{2}} < 4\] queda \[\rho ^{2} \sin^{2} \phi + \rho ^{2} \cos^{2} \phi < 4\]

De acá queda: \[0 < \rho < 2\]

Pero también de \[x^{^{2}} \leq y < 4\] queda \[\rho ^2 \cos^{2} \phi \leq y < 4\]

Operando un poco queda \[\rho ^2 \cos^{2} \phi < 4\]

Y de acá : \[0 \leq \rho < \frac{2}{\cos \phi}\]

Supuestamente tengo que tomar el mínimo entre \[\frac {2}{\cos \phi}\] y 2, y eso depende del cuadrante... Probablemente hay una explicación más simple, pero bueno, son las 01:34 am y no me da más el cerebro . Por lo menos entendí bastante bien el tema de hallar los límites analíticamente, ya que tiendo a depender de los gráficos. Muy buena explicación Saga.

Saludos.