Tengo mis dudas con el siguiente verdadero o falso.

Enunciado: La función \[f(x) = \left | x-1 \right | ln x\] no presenta puntos de inflexión.

Primero que nada, abrí la función:

\[f(x) = \left\{\begin{matrix}(x-1). ln x & ; x\geq 1\\ (-x+1). ln x & ; 0 < x< 1\end{matrix}\right.\]

Calculo derivada primera:

\[f'(x) = \left\{\begin{matrix}ln x + 1 - \frac{1}{x}& ; x\geq 1\\ -ln x - 1 + \frac{1}{x} & ; 0 < x< 1\end{matrix}\right.\]

Calculo derivada segunda:

\[f''(x) = \left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}& ; x\geq 1\\ -\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} & ; 0 < x< 1\end{matrix}\right.\]

Igualo ambas f''(x) a 0 y me queda que \[x=-1\] (lo verifiqué con la derivada tercera y me da distinto de 0). Mi duda viene ya que -1 no pertenece al dominio de la función. Es punto de inflexión igual?

Y otra cosa, en la resolución del final ponen que punto de inflexión es x=1. En wolfram alpha (ver función aca) me parece ver un cambio de dirección en x=1. No entiendo como les da que el punto es 1 (lo cual concuerda con el gráfico) y a mi -1 (también verificada la f''(x)=0 con wolfram)

Gracias.

no es x=-1 es x=1 la primera derivada igualada a 0 ahi esta el error

vos tenes

\[f'(x)=\frac{x+x\ln x-1}{x}=0\]

a ojimetro sacas que x=1, de la manera convencional no va a ser posible despejar x

Me parece que me falta repasar algo de teoría.. no entiendo bien. La derivada primera no es para extremos y la segunda para pto. de inflexión?

Para que un valor de X corresponda a un punto de inflexión siempre debe pertenecer al dominio de F.

Para hallar los candidatos a puntos de inflexión te fijas los puntos donde la segunda derivada valga cero o no exista. Verificas cuales pertenecen al dominio de F. Y corroboras que haya un cambio de signo a ambos lados de dicho valor (lo que corresponde a un cambio de concavidad)

si pero acordate que para comprobar un punto de inflexion

1)

\[f'(x_0)=0\]

luego

Si f es una función tal que \[f''(x_0)<0\] cuando
\[x \in[a,b]\], entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba

Si f es una función tal que \[f''(x_0)>0\] cuando
\[x \in[a,b]\], entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo

luego

\[f''(u)=0\]

Si f presenta un cambio de concavidad a izquierda y derecha de \[x=u\] , entonces existe punto de inflexion ...

otra manera es calcular la tercera derivada y verificar que

\[f'''(u)\neq 0\]

en ese caso f presenta un punto de inflexion en \[x=u\]