Compañeros, cómo están? Tengo dudas con algunos ejercicios de un parcial que me encontré acá en el foro.

Este es el parcial.

Tengo una duda con el punto P2), no sé si mi resolución está bien, si me falta justificar algo, o estoy sacando cosas de la galera.

Empecé calculando las derivadas parciales de cada una de las superficie (la cual definen a la curva C por intersección), para obtener los vectores normales, y después por un producto vectorial, sacar el vector ortogonal a ambos, el cual me define el vector director de la curva (en nuestro caso sería, el plano normal a una curva en el punto A).

\[A = (1,1)\]

\[\bar{a} = (1,2y,-1) \]
\[\bar{b} = (2x,2y,2z)\]

Reemplazando por el punto A para obtener el valor de las derivadas parciales en el punto de estudio.

\[\bar{a} = (1,2,-1)\]
\[\bar{b} = (2,2,4)\]

Luego del producto vectorial obtengo

\[\bar{v_{n}} = (10-6-2)\]

Armo el plano con:

La componente Z del punto A la obtuve reemplazando A en una de las dos superficies.

\[ A = (1,1,2) \]

\[v_{n} . (\bar{X}-\bar{A}) = 0\]

Me queda:

\[10x-6y+2z-8=0\]

Al momento de calcular la derivada direccional uso la definición(y acá no sé si está bien justificado):

\[\bigtriangledown F . \bar{u} = 0\]

Uso esta propiedad porque al ser un plano (un polinomio) es diferenciable.

La resolución es correcta? Qué puntos le mejorarían?


Muchísimas gracias!!!

esta perfecto , no hice las cuentas pero el procedimiento esta ok..

Saga, traté también de hacerlo parametrizando la curva, pero me pareció un camino mucho más complicado:

\[(A) z = x + y^{2} \]
\[(B) x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6 \]

Reemplazando (A) en (B)

\[ x^{2} + y^{2} + (x+y^{2})^{2} = 6 \]

\[(x+y^{2})^{2} = 6 - x^{2} - y^{2} \]

\[ (x+y^{2}) . (x+y^{2}) = 6 - x^{2} - y^{2} \]

\[ (x+y^{2}) = \frac{6 - x^{2} - y^{2}}{(x+y^{2})} \]

Cancelando a ambos lados ...

\[ x^{2} + y^{2} = 6 \]

Parametrizando ...

\[ x = \sqrt{6} . cos (t) \]
\[ y = \sqrt{6} . sen (t) \]
\[z = 2 \] (porque la componente del punto Z del punto A es 2)

Ahora, es correcto esto? De ser así, yo me quedé trabado.

Muchas gracias.

(04-08-2015 09:11)bareel escribió:  Saga, traté también de hacerlo parametrizando la curva, pero me pareció un camino mucho más complicado:

Para este ejercicio en particular , lo es

Cita:\[(A) z = x + y^{2} \]
\[(B) x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6 \]

Reemplazando (A) en (B)

\[ x^{2} + y^{2} + (x+y^{2})^{2} = 6 \]

\[(x+y^{2})^{2} = 6 - x^{2} - y^{2} \]

\[ (x+y^{2}) . (x+y^{2}) = 6 - x^{2} - y^{2} \]

\[ (x+y^{2}) = \frac{6 - x^{2} - y^{2}}{(x+y^{2})} \]

hasta aca perfecto

Cita:Cancelando a ambos lados ...

\[ x^{2} + y^{2} = 6 \]

aca no se que hiciste , como "cancelaste" a ambos lados , sera porque recien me despierto que no lo puedo ver

Mmmmm creo que le pifié ahí ...

Cancelé el (x + y^2) de la izquierda con el del denominador de la derecha, pero en ese caso quedaría 1, no 0

(04-08-2015 10:28)bareel escribió:  Mmmmm creo que le pifié ahí ...

Cancelé el (x + y^2) de la izquierda con el del denominador de la derecha, pero en ese caso quedaría 1, no 0

ahi no podes cancelar nada es como si tenes la siguiente ecuacion

\[x=\frac{a-b^2}{x}\]

y "cancelo" la x?? te parece ??

Uhhhh, tenés razón!!! Qué burrada jajajajaja.

Mil gracias Saga!!