Hola!!!! Consulta
Alguno sabe de qué forma no geométrica ( o sea recta y plano) puedo resolver el ejercicio 20 de la Guía de Subespacios Vectoriales? y con Gauss Jordan.


Mi duda viene a que este ejercicio es de intersección de planos, pero si me pidieran intersección de sistemas matriciales o de polinomios no sabría cómo resolverlo!!!!


Muchas gracias!

Hola,

(10-11-2017 11:23)mgalv escribió:  Hola!!!! Consulta
Alguno sabe de qué forma no geométrica ( o sea recta y plano) puedo resolver el ejercicio 20 de la Guía de Subespacios Vectoriales? y con Gauss Jordan.


Mi duda viene a que este ejercicio es de intersección de planos, pero si me pidieran intersección de sistemas matriciales o de polinomios no sabría cómo resolverlo!!!!


Muchas gracias!

El enunciado dice

"Sean los subespacios

\[\begin{array}{cll} \mathbb{V} & = & gen\{(0,1,-2),(1,1,0)\},\\ \mathbb{W} & = & \{(x,y,z) \in{} \mathbb{R}^3 \; / \; -x+hy-z=0\} \textrm{ y} \\ \mathbb{S} & = & \left\{(x,y,z) \in{} \mathbb{R}^3 \; \left/ \; \displaystyle\frac{x}{(h^2 -4)} = \displaystyle\frac{y}{3} = \displaystyle\frac{z}{4}\right.\right\} \end{array}\]

Halle, si es posible, los valores de \[h\] de modo que \[\mathbb{V}\cap{}\mathbb{W} = \mathbb{S}\]".

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La forma en que se resuelve este ejercicio es por igualación de las ecuaciones de tres subespacios, siendo dos de ellos la intersección, que consta en agregar las ecuaciones de \[\mathbb{V}\] y \[\mathbb{W}\] a la matriz \[\mathbb{V} \cap{} \mathbb{W}\].

Para hallar la ecuación que genera a \[\mathbb{V}\] basta con escribir a los vectores en columna y pivotear; la fila de ceros es la ecuación.

Para \[\mathbb{W}\] ya la misma definición te lo dice, por lo que el sistema de ecuaciones de \[\mathbb{V} \cap{} \mathbb{W}\] tendrá 2 ecuaciones.

Cada componente de las ecuaciones (\[x\], \[y\] y \[z\]) de la intersección deberás reemplazarla por la solución homogénea de \[\mathbb{S}\], que viene dada por la solución particular (no) + solución homogénea (sí), que también tiene 3 componentes.

Faltan plantear las ecuaciones y las operaciones, terminalo...

Saludos

Lo termino:

Para \[\mathbb{V}\]:
\[\mathbb{V}: \left(\begin{array}{cc|l} 0&1&x\\\boxed{1}&1&y\\-2&0&z\end{array}\right) \sim{} \left(\begin{array}{cc|l} 0&\boxed{1}&x\\ 1&1&y\\0&2&z+ 2y\end{array}\right) \sim{} \left(\begin{array}{cc|l} 0&1&x\\ 1&0&y- x\\0&0&z+ 2y -2x\end{array}\right) \begin{array}{c} \\ \\ \\ \Rightarrow{} \boxed{\mathbb{V}: \{(x,y,z) \in{} \mathbb{R}^3 \; / \; -2x + 2y + z = 0\}} \end{array}\]

Para \[\mathbb{W}\]:
\[\boxed{\mathbb{W}: \left\{(x,y,z) \in{} \mathbb{R}^3 \; / \; -x +hy -z = 0\right\}}\]

Así que
\[\mathbb{V} \cap{} \mathbb{W}: \begin{cases}-2x + 2y + z = 0\\-x +hy -z = 0\end{cases}\]

Independientemente del valor de \[h\] la matriz del sistema tiene rango dos, por tanto la solución es un subespacio de dimensión \[3 - 2 = 1\].

Así que sólo hay que analizar cuándo ese subespacio es precisamente \[\mathbb{S}\].

Para \[\mathbb{S}\]:
\[\mathbb{S} = gen\{(h^2 - 4, 3, 4)\}\]

Lo único que queda es estudiar para qué valores de \[h\] ese vector verifica las ecuaciones de \[\mathbb{V} \cap{} \mathbb{W}\]. Sustituyendo en ellas:

\[\begin{cases} -2(h^2-4)+2\cdot{} 3+4=0 \\ -(h^2-4)+3h-4=0\end{cases}\]

Por lo tanto \[h = 3\].