Hola, gente!

Quisiera consultarles a ustedes con este ejercicio que me tomaron en parcial.
Abajo le dejo la foto y algo que yo intente hacer!(solo intente con el punto 3, lo resto no tng idea )

Muchas gracias!





PS. en el punto b, me salio L.D., que no debe pasar(?

Vaya parcial!

Bueno, te cuento que el ejercicio 2.a se resuelve usando A.x=t(x) donde A es la matriz que te da, x es el vector (o la base de los vectores) que estas buscando y t(x) es la base que te da como dato (alfa, alfa+1, alfa-2). Haciendo eso te queda

\[\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1\\1&-1&1\\1&0&1\\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}x\\y\\z \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha \\\alpha +1\\\alpha -2 \end{bmatrix}\]

Haciendo el producto de matrices y las sustituciones necesarias llegas a que la terna es solución de una recta. es decir:

\[S=\begin{Bmatrix}(x,y,z)& \epsilon&\mathbb{L}/ &\mathbb{L}=\lambda (2, 2, 1)+(-5,-3,0)\end{Bmatrix}\]


Para el 2.b, hacé lo mismo, igualando la multiplicación por el vector 0. Si encontras que el vector x=0 entonces es inyectiva, caso contrario no lo es.

Para el 2.c, si sacas bien te da que la TL es inyectiva, entonces dim(Nu)=0, y las bases de la imagen son las columnas de la matriz A. Luego dim(Im)=3.

Y para el 2.d primero calculá el determinante de la matriz. Si es distinto de 0 buscá la matriz inversa de la TL. No sé cómo te resulte más fácil: pivoteando o triangulando.

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El 3.a es un poquito rebuscado. Pero sale.

Lo que tenes que hacer es lo siguiente:

Primero planteas el sistema a diagonalizar como SIEMPRE se hace. Hallás el polinomio característico que te queda:

\[-\lambda^{3}-2\lambda^{2}-\lambda+\lambda.k^{2}=0\]

Sacas factor común \[\lambda\], y te queda que el polinomio es igual a 0 para todo \[k\] que aparezca. Esto no es lo que importa, sino lo que sigue...

Planteas la ecuación resolvente (dado que te queda \[\lambda^{2}\] )

\[\frac{1\pm \sqrt{1-4(-1+k^{2}.).(-1)}}{-2}\]

Eso te da 2 \[\lambda\] posibles. Que no te asuste la incógnita! . Ahí es donde te preguntas ¿Cuándo una matriz es diagonalizable? Cuando los \[\lambda\] hallados son distintos (aunque no siempre sea así, plantealo de esta manera), así que separas las dos raíces posibles (la que te da con el + y la que te da con el -) y las igualas

\[\frac{1+ \sqrt{1-4(-1+k^{2}.).(-1)}}{-2}=\frac{1- \sqrt{1-4(-1+k^{2}.).(-1)}}{-2}\]

A partir de ahí te da dos valores de K para los que POSIBLEMENTE la matriz NO sea diagonalizable, los reemplazas en la matriz y podes ver si realmente son o no diagonalizables con esos valores. (Tené siempre en cuenta que una matriz es diagonalizable si la multiplicidad geométrica es igual a la multiplicidad algebraica)
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(01-12-2013 09:39)wasolca escribió:  Vaya parcial!

Bueno, te cuento que el ejercicio 2.a se resuelve usando A.x=t(x) donde A es la matriz que te da, x es el vector (o la base de los vectores) que estas buscando y t(x) es la base que te da como dato (alfa, alfa+1, alfa-2). Haciendo es.............

Gracias wasolca, pero si es posible me podrias explicar mejor con respecto a punto 2 a ?
porque no tengo idea como remplazaste para salir con numeros reales
Muchas gracias!!

Si haces el producto de matrices te queda un sistema de ecuaciones:

y-z=a
x-y+z=a+1
x-z=a-2

Reemplazas

x-y+z=y-z+1 (la primer ecuación en la segunda)
x-2y+2z=1

x-z=y-z-2 (la primer ecuación en la tercera)
x=y-2

Ahora reemplazas x de esta ultima en la segunda

y-2-2y+2z=1
y=2z-3

ahora para que x te quede en relación a z, reemplazas y en la ecuación anterior

x=y-2=2z-3-2=2z-5

Entonces la terna te queda

(x,y,z)=(2z-5,2z-3,z)

despejando te queda la recta anterior. Si te queda duda, ponele un valor a lambda y al valor que te da en la terna, úsalo para multiplicar la matriz y vas a ver que te queda