Sea S un subespacio vectorial de (R5,R,+,.) tal que:

S = { (x1,x2,x3,x4,x5) / 2x1 - x3 + x4 = 0 ^ x1 - x2 = 0

Halle base y dimensión de S y extienda la base hallada a una base de R5 utilizando una base de S ortogonal. (S^ | )

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Hice lo siguiente:

2 0 -1 1 0
1 -1 0 0 0

x1 = 1/2 x3 - 1/2 x4
x2 = x1 ---> x2 = 1/2 x3 - 1/2 x4
X3 e R
x4 e R
x5 e R

( 1/2 x3 - 1/2 x4 , 1/2 x3 - 1/2 x4 , x3, x4, x5)

La base de S me queda:
Base S = gen { (1/2 , 1/2 ; 1 , 0 , 0) (-1/2, -1/2, 0, 1, 0) (0, 0, 0 , 0 , 1) }
Dim S = 3

¿Está bien hecho hasta ahí?
Sé de Complemento Ortogonal (Lo escribo como St) lo siguiente:
* Dim S + Dim St = Dim V
* S (+) T = V (Suma Directa)

Para extenderlo a R5 la base de St me tendría que dar 2, ¿no? Y sé que un vector de S multiplicado escalarmente por uno de St me tiene que dar 0 porque son ortogonales.

( 1/2 , 1/2 ; 1 , 0 , 0 ) * ( b1, b2, b3, b4, b5 ) = 0
( -1/2, -1/2, 0, 1, 0 ) * ( b1, b2, b3, b4, b5 ) = 0
( 0, 0, 0 , 0 , 1) * ( b1, b2, b3, b4, b5 ) = 0

1/2 b1 + 1/2 b2 + b3 = 0
-1/2 b1 + -1/2 b2 + b4 = 0
b5 = 0

b3 = -1/2 b1 - 1/2 b2
b4 = 1/2 b1 + 1/2 b2
b5 = 0
b1 e R
b2 e R

Ahí tengo las condiciones. Saco la base y queda:

(b1 ; b2 ; -1/2 b1 - 1/2 b2 ; 1/2 b1 + 1/2 b2 ; 0 )

b1 (1, 0, -1/2, 1/2, 0 ) + b2 (0, 1, -1/2, 1/2, 0 )
Base St = gen { (1, 0, -1/2, 1/2, 0 ) ; (0, 1, -1/2, 1/2, 0 ) }
Dim St = 3

Entonces la base de R5 extendida es así:
( 1/2 , 1/2 ; 1 , 0 , 0 )
( -1/2, -1/2, 0, 1, 0 )
( 0, 0, 0 , 0 , 1 )
(1, 0, -1/2, 1/2, 0 )
(0, 1, -1/2, 1/2, 0 )
Dim = 5.
Dim S = 3 + Dim St = 2 => Dim R5 = 5

¿Es así la solución del ejercicio?
Muchas gracias =) Mi duda era lo de extender la base.

Si, el ejercicio es así y está bien hecho