21) Encuentre las ecuaciones vectoriales, parametrias, simetrias de la recta que:

c) es paralela al eje de ordenadas, que pasa por el punto ( 3,2,1 )
d) pasa por el origen de coordenadas y tiene la direccion de un vector cuyas componentes son iguales.

en la c) llegue a pensar que tengo un vector unitario del eje de ordenadas ( 0 , 1 , 0 ) y es paralela a la recta ( a su vez al vector director ).
me quede ahi...
y en la d) tengo un punto de la recta que es ( 0,0,0) y que el vector director tiene sus componentes iguales ( x , x , x ) y tambien me quede ahi..

mas duda me quedo el C) que nose que hacer con ese vector unitario que es paralela al vector director..

(30-04-2012 22:29)kp22 escribió:  21) Encuentre las ecuaciones vectoriales, parametrias, simetrias de la recta que:

c) es paralela al eje de ordenadas, que pasa por el punto ( 3,2,1 )

Cita:en la c) llegue a pensar que tengo un vector unitario del eje de ordenadas ( 0 , 1 , 0 ) y es paralela a la recta ( a su vez al vector director ).
me quede ahi...

Esta bien, solo te falto definir la recta en su forma vectorial \[r: \overline A+\lambda \vec d_r\] tenes el punto A , y tenes el director

Cita:d) pasa por el origen de coordenadas y tiene la direccion de un vector cuyas componentes son iguales.

y en la d) tengo un punto de la recta que es ( 0,0,0) y que el vector director tiene sus componentes iguales ( x , x , x ) y tambien me quede ahi..

Te falto lo mismo que en el anterior, fijate que le vector director es \[ \vec d_r=x(1,1,1)\quad x\in R\]

Cita:mas duda me quedo el C) ....... osea los componentes del vector unitario se convierten al del vector director ?

Asi es

Cita:Tambien quiero agregar una duda mas... hay un ejercicio que lo resolvimos en la clase. Alfinal de todo era que el vector director tiene las mismas componentes que el vector normal de un plano porque eran paralelos.

No es que tiene las mismas componentes, sino que son proporcionales, pueden tener la misma dirección el mismo sentido pero el módulo puede variar, recorda que la definición de vectores paralelos es \[ \vec v=\alpha \vec u\quad \alpha \in R\], y de hecho podes comprobar que el vector \[v=(1,1,1)\sim u=(2,2,2)=2(1,1,1)\] el modulo de \[v=\sqrt 3 \] y el modulo de \[u=2 \sqrt 3 \], te das cuenta que tienen igual direccion sentido pero distinto modulo.

Lo que pasa es que al plantear dos planos paralelos, si haces toda esa cuenta siempre al final vas a poder simplificar el \[\alpha\], y te queda de hecho la misma normal, fijate que si tomo como normal al vector v, obtengo el plano

\[2x+2y+2z+d=0\] si divido por 2 \[x+y+z+\frac{d}{2}=0\] lo unico que va a variar es el termino independiente, que es el que define "a que altura" esta un plano del otro

Espero me hayas entendido.

gracias por la respuesta saga, pero tengo nuevas inquietudes
por ejemplo en la respuesta del ejercicio 21, c) dice:

x = 3
z = 1

pero en mi respuesta me da

x = 3
y = 2 - t
z = 1

tomando como r = ( 3, 2, 1 ) + t(0 , 1, 0 )

porq tengo esa respuesta del y = 2 - t.. ? se que es paralelo al eje de ordenadas pero eso no quiere decir que el vector R no tenga componente en "Y" y por eso lo tenga q descartar asi sin mas.. o SI ? jaja


Ahora te entendi lo que me quisiste decir con que puedo tomar los componentes de un vector A paralelo a un vector B. Claro la unica diferencia entre los dos vectores sera el Alfa que me indicara la distancia entre los dos vectores unicamente y con sus componentes son multiplos entre si.
Pero la profesora me comento que el vector normal de un plano es un vector libre, y navegando por la web, la conclusion es que al hacer el producto vectorial me da infinitos vectores perpendiculares al plano y de ahi viene el vector libre no es asi ? ( por definicion que el vector libre es un conjunto de vectores fijos con las mismas caracteristicas tanto modulo, direccion y sentido ). Entonces si tengo una recta perpendicular que corta al plano, el vector director ( otro vector libre ) siendo paralelo al vector normal, el vector director toma las componentes del vector normal porque como los dos vectores son libres voy a tener infinitos vectores fijos que coincidiran entre si sobre el plano ( de que los dos vectores coinciden me lo dijo la profe sin decirme la razon del por que ) con la unica diferencia de sus modulos que en este caso no me importaria creo.

En conclusion te quise decir que pense que la unica forma de que un vector tome los componentes de otro vector es que tenian que ser entre un vector perpendicular al plano y otro vector perpendicular al plano.

Mi problema principal es que no logre entender sobre 2 vectores paralelos en el espacio sin que ningun plano lo contenga. Para dar un ejemplo,
tengo los vectores u y v, y un plano pi. u no es paralelo a v, v no es paralelo a u, u y v son paralelos al plano pi, entonces el vector perpendicular del productor vectorial de u y v es igual a la norma del plano pi. No tengo idea del por que es igual... yo se que son paralelos el vector perpendicular al vector u y v, y la norma pero ahi tengo 2 vectores en el espacio... no tengo idea de como lo esta tomando los componentes.

SI yo digo que el producto vectorial de u y v me da ( 1,2,1 ), entonces la normal tendria q ser ( 1,2,1 ) tambien ? pero la formula me decia:
y el alpha se estaria anulando y no entiendo el por que. Si el alpha me indica la distancia entre los dos vectores, ahi me estan diciendo que no hay distancia.. entonces esta uno arriba del otro pero por arte de magia casi


Aun asi no entiendo porque no me da igual que la respuesta de la guia. ME ESTA MATANDO jaja

P.D: Te comento que hice casi todos los ejercicios hasta ahora de algebra pero varios de ellas lo hice muy mecanizado y esta curiosidad me parece que es clave porque se repite una y otra vez en los ejercicios.

(01-05-2012 01:14)kp22 escribió:  gracias por la respuesta saga,
por ejemplo en la respuesta del ejercicio 21, c) dice:

x = 3
z = 1

pero en mi respuesta me da

x = 3
y = 2 - t
z = 1

tomando como r = ( 3, 2, 1 ) + t(0 , 1, 0 )

porq tengo esa respuesta del y = 2 - t.. ? se que es paralelo al eje de ordenadas pero eso no quiere decir que el vector R no tenga componente en "Y" y por eso lo tenga q descartar asi sin mas.. o SI ? jaja

Es solo cuentas capo, te piden la ecuacion cartesiana de esa recta, o sea dos planos que se intersecten, si escribimos todas las componentes de la recta en forma parametrica tenemos

\[\\x=3+0t\\y=2+t\\z=1+0t\]

despejando el parametro para obtener las ecuaciones cartesianas tenemos \[y-2=t\] reemplazando en las otras dos ecuaciones

\[\\x=3+0(y-2)=3\\z=1+0(y-2)=1\]

de donde obtenes la ecuacion de la recta en su forma cartesiana

kp22 escribió:y por eso lo tenga q descartar asi sin mas.. o SI

en álgebra o cualquier rama de la matemática nada es porque SI

Resumiendo un poco lo de vector libre. El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre. O sea cuando haces el producto vectorial, obtenes 1 representante de ese conjunto de vectores libres perpendiculares al plano

Cita:Mi problema principal es que no logre entender sobre 2 vectores paralelos en el espacio sin que ningun plano lo contenga. Para dar un ejemplo,
tengo los vectores u y v, y un plano pi. u no es paralelo a v, v no es paralelo a u, u y v son paralelos al plano pi, entonces el vector perpendicular del productor vectorial de u y v es igual a la norma del plano pi. No tengo idea del por que es igual...

Tanto el vector "u" y el vector "v" son representantes del conjunto de vectores libres al cual corresponde cada uno, por ser vectores libres y estar paralelos al plano, puedo hacer que esos dos representantes me generen uno.

Cita:yo se que son paralelos el vector perpendicular al vector u y v, y la norma pero ahi tengo 2 vectores en el espacio... no tengo idea de como lo esta tomando los componentes.

No te entendi muy bien, debe ser la hora

Cita:SI yo digo que el producto vectorial de u y v me da ( 1,2,1 ), entonces la normal tendria q ser ( 1,2,1 ) tambien ? pero la formula me decia:
\[v=\alpha u\] y el alpha se estaria anulando y no entiendo el por que.

Pero esa no es la formula del producto vectorial, es mas si u y v son paralelos, seguro el vector producto vectorial es el vector nulo.

Lo importante es que entendi a mi problema principal al del ejercicio jaja, tambien capte bastante bien la relacion entre un vector paralelo al plano.
Y lo del producto vectorial le pifie jaja quise decir que el U = alpha. V siendo u paralelo a v pero sin llegar a ser iguales los dos vectores con la condicion de que son multiplo los dos componentes, el alpha me diria cuan lejos o cerca estan los dos vectores no es asi ?
Con lo que entendi es que el alpha se simplifica luego cuando pasamos a la ecuacion del plano en donde los componentes a,b,c van a ser iguales y lo unico que cambia es la D. Hasta ahi entendi perfecto, pero a lo que iba es como simplifico el alpha si tengo 2 vectores al aire sin que ningun plano lo contenga a cada uno. Y la respuesta que me diste sobre los dos vectores (director y normal) paralelos "Tanto el vector "u" y el vector "v" son representantes del conjunto de vectores libres al cual corresponde cada uno, por ser vectores libres y estar paralelos al plano, puedo hacer que esos dos representantes me generen uno." tambien lo llegue a entenderlo, claro al hacer el producto vectorial voy a obtener un vector representante perpendicular al plano, y voy a obtener que el vector director es paralelo al vector normal. Como son paralelos sus componentes son multiplos, entonces tomo los componentes del vector normal y me lo llevo al vector director pero lo que no se es si tienen el mismo modulo asi que la incognita seria el alpha. Entonces me quedaria : n = alpha . d (n= normal, d = director ), y el alpha se me simplifica luego cuando pase ese vector director a la ecuacion de la recta no ? Creo que es mi ultima curiosidad de hoy jaja

De todas maneras gracias saga por estar aca respondiendome en un finde largo!! sos un grande jaja igual la mayoria de las cosas me quedo claro

Lo que el alpha te informa no es la distancia entre los vectores, te informa cuanto se "alarga" o se "reduce" un vector, por eso el modulo de un vector proporcional a otro varia.

kp22 escribió:Entonces me quedaria : n = alpha . d (n= normal, d = director ), y el alpha se me simplifica luego cuando pase ese vector director a la ecuacion de la recta no

a ver si lo entendes con un ejemplo si te pido la recta que sea paralela al vector \[u=(1,1,1)\] y pasa por A=(0,0,1)

1)planteamos la defincion \[d=\alpha u\]

2)operamos, tomando un generico como director por ejemplo \[d=(a,b,c)=\alpha(1,1,1)\] de donde obtenemos que

\[\\a=\alpha\\b=\alpha\\c=\alpha\]

3)reemplazando en nuestro d generico tenes que \[d=(\alpha,\alpha,\alpha)=\alpha(1,1,1)\]

4)finalmente la recta pedida escrita en forma vectorial es \[r: A+\alpha u\] o sea \[r: (0,0,1)+\alpha(1,1,1)\quad\alpha\in R\]

fijate que el alpha no se cancela,y como bien decis es la incognita que sirve de parametro, lo ves?

El alpha se va a simplificar cuando armes la ecuacion del plano, pero en una recta te sirve de parametro

ahhhhhhhhhhh ahi entendiii, y depaso tonces el vector D seria "algun" vector paralelo a la recta que puede estar en cualquier lado creo jaja

gracias saga!!