Tengo este ejercicio, y se me está complicando encontrar \[S^\perp\]...

Sean los subespacios de \[(\mathbb{R}^3, +, \mathbb{R}, \cdot)\]:

\[ S_1 = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 / 2x+y+z = 0\} \]
\[ S_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / ax+z=0 \wedge by - z =0 \}\]

Halle los valores de \[a\] y \[b\], si existen, para que \[S_1\] sea igual al complemento ortogonal de \[S_2\].

Desde ya, gracias! Rindo mañana y colgué subespacios como un campeon...jajaj

Agrego el punto b) del mismo ejercicio que tampoco me esta saliendo:

Para \[a = 1\], obtenga los valores de \[b\] para que \[S_1 + S_2\] no sea directa.

Un subespacio ortogonal, si lo vemos por el lado de vectores, un vector es ortogonal a otro cuando su producto escalar es igual a 0.
Esto es lo mismo, por lo tanto:

u = (2 , 1 , 1) <- corresponde a S1 (sale de 2 X + 1 Y + 1 Z = 0)
v = (a , 0 , 1) y w = (0 , b , -1) <- corresponde a S2 (sale de a X + 0 Y + 1 Z = 0 y 0 X + b Y + (-1) Z)

Estos vectores son los vectores generadores del subespacio.
Por lo tanto,

u . v = 0 ^ u . w = 0 => S2 es ortogonal a S1 => el complemento de S2 es igual a S1

(2 , 1 , 1) . (a , 0 , 1) = 0
(2 , 1 , 1) . (0 , b , -1) = 0

2a + 1 = 0
b - 1 = 0

a = -1/2
b = 1

El punto B, dejame averiguar bien... creo que eran 2 condiciones para que la suma sea directa... averiguo y te aviso

EDITO:

Cita:Dados dos subespacios U y V de un espacio vectorial W, la suma
U + V = { u + v / u pertenece a U y v pertenece a V }
La suma U + V se dice directa si la intersección de U con V es igual al subespacio nulo:
< 0 >.
En tal caso la suma U + V se denota con un símbolo de suma encerrado en un círculo.

De esto yo deduzco que para que sea directa tenes que comprobar dado el sig conjunto (lo llame A)
A = { u , v , w } / u es el vector generador de S1 , v y w los vectores generadores S2

Por lo tanto,

Si A es L.I. => S1 + S2 es suma directa

\[z = -2x-y (1)\] (Despejás de \[S1\])

\[<(x,y,z);(a,0,1)> = ax+z = 0\] ---> \[z = -ax (2)\] (ortogonal de \[S2\])

\[(1) = (2)\] ---> \[y = x (a-2) (3)\]

\[<(x,y,z);(0,b,-1)> = by-z = 0\] ---> \[z = by (4)\] (ortogonal de \[S2\])

\[(2) = (4)\] ---> \[y = -(a/b)x (5)\]

\[(3) = (5)\] ---> \[b = -(a/(a-2)) (6)\]

La verdad que me mareo un poco porque estoy estudiando otra cosa... fijate si hice los pasajes de términos bien, sólo faltaría encontrar los valores numéricos de \[a\] y \[b\]. Lo pienso en una hoja y te lo digo más tarde si me sale. Espero que te sirva. Saludos.

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Ah habían contestado antes Jaja, escribí lento...

(09-08-2011 12:49)aaajfabio escribió:  Un subespacio ortogonal, si lo vemos por el lado de vectores, un vector es ortogonal a otro cuando su producto escalar es igual a 0.
Esto es lo mismo, por lo tanto:

u = (2 , 1 , 1) <- corresponde a S1 (sale de 2 X + 1 Y + 1 Z = 0)
v = (a , 0 , 1) y w = (0 , b , -1) <- corresponde a S2 (sale de a X + 0 Y + 1 Z = 0 y 0 X + b Y + (-1) Z)

Estos vectores son los vectores generadores del subespacio.
Por lo tanto,

u . v = 0 ^ u . w = 0 => S2 es ortogonal a S1 => S1 es el complemento ortogonal de S2

(2 , 1 , 1) . (a , 0 , 1) = 0
(2 , 1 , 1) . (0 , b , -1) = 0

2a + 1 = 0
b - 1 = 0

a = -1/2
b = 1

Pero ahí no estás sacando el complemento ortogonal de \[S2\]
Tendrías que sacarlo e igualarlo a \[S1\]
O me equivoco?
Saludos

Gracias a los dos por la ayuda...ya me lo están explicando por chat tambien

Los de complemento ortogonal siempre son con vectores de \[\mathbb{R}^n\], no? Nunca con polinomios o matrices?

Exacto.
Ya entendí lo de aaajfabio, esta bien. Yo lo hice similar pero me quedó expresado con incógnitas, no debe ser mi día hoy Jaja.

Aprovecho el thread para postear un problema parecido, en este si hay que obtener el complemento (piden base y dimension de esto):

\[S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 / 2x-y=0 \wedge 3y+z=0 \}\]

Me doy cuenta que el espacio es una recta que pasa por el origen, definida por 2 planos. Para encontrar su vector normal hago producto vectorial entre (2, -1, 0) y (0, 3, 1) que da (-1, -2, 6). Entonces, \[S^\perp\] serian los vectores que cumplen \[-x-2y+6z=0\] ? Entonces una base seria \[\{(-2, 1, 0), (6, 0, 1)\}\], puede ser?

(09-08-2011 19:09)rld escribió:  Aprovecho el thread para postear un problema parecido, en este si hay que obtener el complemento (piden base y dimension de esto):

\[S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 / 2x-y=0 \wedge 3y+z=0 \}\]

Me doy cuenta que el espacio es una recta que pasa por el origen, definida por 2 planos. Para encontrar su vector normal hago producto vectorial entre (2, -1, 0) y (0, 3, 1) que da (-1, -2, 6). Entonces, \[S^\perp\] serian los vectores que cumplen \[-x-2y+6z=0\] ? Entonces una base seria \[\{(-2, 1, 0), (6, 0, 1)\}\], puede ser?

Esta bien lo que hiciste, igual te lo explico con un poco más de detalle por las dudas.

Haciendo un par de cuentas sale que \[S = gen{(1,2,-6)}\], por lo tanto \[S^\perp\] está generado por un \[(x,y,z) / (x,y,z) . (1,2,-6) = 0\], es decir, el plano \[ x+2y-6z = 0\].
Como \[Dim(S) + Dim(S^\perp) = Dim(R^3) = 3\] y \[Dim(S) = 1\] ---> \[Dim(S^\perp) = 2\], y para sacar la base despejas la x ponele, y te queda \[ (x,y,z) = (-2y + 6z, y, z) = y(-2, 1, 0) + z(6, 0, 1) = gen{(-2,1,0), (6,0,1)}\]

Perfecto, cada vez lo voy entendiendo mejor, aunque me habria venido bien entenderlo un poco antes

Saludos y gracias!

Off-topic:

Contanos como te fue hoy

(10-08-2011 09:50)aaajfabio escribió:  

Off-topic:

Contanos como te fue hoy

Y si podés subí el parcial, me sería de gran ayuda. Saludos.

Me fue mejor de lo que esperaba, pude hacer todos los ejercicios (de ahi a que esten bien es otra cosa...)

El de subespacios era con complemento ortogonal en \[\mathbb{R}^4\], se me complicó bastante...lo tenía en blanco, estaba por entregar y jodiendo le pregunto al profe, "No hay alguna ayudita para el de subespacios?" y se puso a explicarme todo, practicamente me hizo el ejercicio entero...jajaja

Entregué último pero creo que me fue bien, creo tambien que tengo muchas chances de promocionarla.

No tengo el parcial para subir...era el tema 5, es lo unico que me acuerdo :/

Gracias de vuelta a todos por la ayuda

cuando te de el parcial con la nota, decile que vas a sacarle fotocopia y se lo devolves

Me saque 8 , posiblemente 9 despues de ratonearle un poco el parcial...me habia equivocado al final de un determinante en un signo teniendo todo lo anterior perfecto y me bajo 1 punto (le pregunte y se fue, no volvio mas en toda la clase jaja)

Y si, me olvide de sacarle fotocopia