Gente... tengo el siguiente ejercicio:

Sean los subespacios de R^4:

S = gen {(1,1,1,1),(0,1,0,1)} y T = { (x,y,z,t): x-z = 0 , x-z+t = 0 }, cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?:

a- \[S\oplus T=\mathbb{R}^{4}\]
b- \[S+T=\mathbb{R}^{4}\]
c- S + T = W y dim (W) = 3
d- \[S\oplus T=W\] y dim (W) = 3

Yo hice esto...


T = { (x,y,z,t): x-z = 0 , x-z+t = 0 }

x-z = 0 y x-z+t = 0
x = z 0 + t = 0


(x , y , z , t) Ɛ T => (x , y , x , 0) = (x , y , x , 0)
(0,0,0,0) = x (1,0,1,0)+y (0,1,0,0)+z (0,0,0,0)+t (0,0,0,0)


0 = x
0 = y \[\Rightarrow \] L.I – Sistema Compatible Determinado


B(T)={ (1,0,1,0),(0,1,0,0) } \[\Rightarrow \] dim = 2




S = gen { (1,1,1,1) , (0,1,0,1)}

( x , y , z , t ) = \[\alpha \] (1,1,1,1)+ \[\beta \](0,1,0,1)

x=\[\alpha \]
y=\[\alpha + \beta \] \[\Rightarrow \] x = z y y = t
z=\[\alpha \]
t=\[\alpha + \beta \]


Ahora mi duda es: tengo que sacar la base de T para poder hacer la suma de S+T? Ese conjunto generador no es ya la base de T?

El teorema de las dimensiones dice Dim(S) + Dim(T) - Dim( S n T) = Dim (S+ T)

Vos sacaste que Dim (S) = 2 lo cual esta bien ya que sus generadores son LI por lo tanto son la base de S y su dimension es 2 por que son dos vectores, dsp sacaste los generadores de T y como son LI por lo tanto son la base de T y su dimension es tmb 2 por ser dos vectores Dim (T) = 2. Ahora te faltaria buscar la interseccion de ambos subespacios y fijarte cuando te da la dimension (yo lo hice y no da la solucion (0,0,0,0) por lo que no estan en suma directa, la solucion me dio el vector (1,0,1,0) por lo que quedaria que la Dim (S n T) = 1.
Entonces (Dim(S) = 2) + (Dim(T) = 2) - (Dim (S n T) = 1) = 3. Quedando como correcta la rta c)
Saludos

Gracias.. pero sigo teniendo una duda...

Cuando hago la suma (no la directa), utilizo como base de S el conjunto generador? O armo la base nueva? Xq yo me habia manejado armando una nueva....

para saber si generan R4 lo unico que tenes que probar es que los vectores que generan S y T sean LI , si lo son entonces la suma es directa...

Igual puedo observar que eso no sucede ya que el (1,1,1,1) esta en T entonces ya podes ir descartando que generan R4 y que no es suma directa

visto asi por arriba la opcion correcta es la c)

Cuando te dan un conjunto generador lo primero que tenes que hacer es verificar que los vectores sean LI, si lo son, entonces el generador es igual a la base.
En cambio si el generador tiene vectores LD, los eliminas y los vectores que te quedan forman la base, y trabajas con eso.

Por ejemplo si te dan
R = gen{(1,2),(2,4)}
la base de R seria {(1,2)} o {(2,4)} porque son combinacion lineal.